МОРСА ЛЕММА

пусть дифференцируемая функция $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ (соответственно голоморфная $\mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{C}$ ) имеет невырожденную критическую точку в $O$, то есть матрица $\left\|\partial^{2} f / \partial x_{i} \partial x_{j}\right\|$ невырождена в $O$; тогда существуют локальные координаты $y_{1}, \ldots, y_{n}$ в окрестности $O$, в которых функция $f$ имеет вид: \[ y_{1}^{2}+\ldots+y_{k}^{2}-y_{k+1}^{2}-\ldots-y_{n}^{2}+\text { const } \] (соответственно $y_{1}^{2}+\ldots+y_{n}^{2}+$ const). С. В. Чмутов.

пусть дифференцируемая функция $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ (соответственно голоморфная $\mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{C}$ ) имеет невырожденную критическую точку в $O$, то есть матрица $\left\|\partial^{2} f / \partial x_{i} \partial x_{j}\right\|$ невырождена в $O$; тогда существуют локальные координаты $y_{1}, \ldots, y_{n}$ в окрестности $O$, в которых функция $f$ имеет вид: \[ y_{1}^{2}+\ldots+y_{k}^{2}-y_{k+1}^{2}-\ldots-y_{n}^{2}+\text { const } \] (соответственно $y_{1}^{2}+\ldots+y_{n}^{2}+$ const). С. В. Чмутов.