МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА

утверждение об асимптотическом поведении произведений случайных матриц, взятых вдоль реализаций эргодических стационарных случайных процессов. Пусть $(\Omega, \mp, P)-$ вероятностное пространство, точками к-рого являются бесконечные последовательности $\omega=\left\{\omega_{n}\right\}, n \in \mathbb{Z}$, где все $\omega_{n}$ - элементы нек-рого множества $I, T$ - сохраняющее меру эргодич. преобразование сдвига в $\Omega, F=F(\omega)-$ случайная величина со значениями в пространстве квадратных матриц порядка $m \geqslant 1$, для к-рой математич. ожидание $\mathrm{E}(\ln +|\boldsymbol{F}|)$ конечно. Тогда почти наверное существует (см. [1], [2]) предел \[ \Lambda(\omega)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\left[F^{(n)}(\omega)\right]^{*}\left[F^{(n)}(\omega)\right]\right)^{1 / 2 n}, \] где \[ F^{(n)}(\omega)=F(\omega) \cdot F(T \omega) \cdot \ldots \cdot F\left(T^{n-1} \omega\right) \] а $[\cdot]^{*}$ - сопряженная матрица. Многочисленные применения М. э. т. связаны с теорией гладких динамич. систем, спектральной теорией дифференциальных операторов со случайными коэффициентами, теорией случайных блужданий в случайных средах (см. [3], [4]).

утверждение об асимптотическом поведении произведений случайных матриц, взятых вдоль реализаций эргодических стационарных случайных процессов. Пусть $(\Omega, \mp, P)-$ вероятностное пространство, точками к-рого являются бесконечные последовательности $\omega=\left\{\omega_{n}\right\}, n \in \mathbb{Z}$, где все $\omega_{n}$ - элементы нек-рого множества $I, T$ - сохраняющее меру эргодич. преобразование сдвига в $\Omega, F=F(\omega)-$ случайная величина со значениями в пространстве квадратных матриц порядка $m \geqslant 1$, для к-рой математич. ожидание $\mathrm{E}(\ln +|\boldsymbol{F}|)$ конечно. Тогда почти наверное существует (см. [1], [2]) предел \[ \Lambda(\omega)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\left[F^{(n)}(\omega)\right]^{*}\left[F^{(n)}(\omega)\right]\right)^{1 / 2 n}, \] где \[ F^{(n)}(\omega)=F(\omega) \cdot F(T \omega) \cdot \ldots \cdot F\left(T^{n-1} \omega\right) \] а $[\cdot]^{*}$ - сопряженная матрица. Многочисленные применения М. э. т. связаны с теорией гладких динамич. систем, спектральной теорией дифференциальных операторов со случайными коэффициентами, теорией случайных блужданий в случайных средах (см. [3], [4]).