НАБЛЮДАЕМАЯ

эквивалент понятия переменной величины в физических теориях. В алгебраич. подходе Н. является первичным понятием - ограниченной вещественной наблюдаемой считается всякий самосопряженный элемент $C^{*}$-алгебры, описывающий данную систему (см. Наблюдаемых алгебра). Для коммутативных алгебр, описывающих классич. системы, Н. задается функцией на спектре алгебры, то есть на фазовом пространстве соответствующей системы. В квантовой механике вещественная Н. Х задается произвольным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве системы $H$. Точки спектра этого оператора (лежащего на вещественной прямой $\mathbb{R}$) интерпретируются как значения, к-рые могут быть получены при точном измерении Н. $X$. Исход измерения данной Н. является, вообще говоря, случайным; распределение вероятностей исходов зависит как от измеряемой Н., так и от состояния системы непосредственно перед измерением. Постулируется, что это распределение имеет вид: \[ \mu_{\rho}(B)=\operatorname{Tr} \rho E(B), B \in \mathscr{B}(\mathbb{R}), \] где $\rho$ - плотности оператор, описывающий состояние системы перед измерением, $E(B), B \in \mathscr{B}(\mathbb{R})$ - спектральная мера оператора $X$, определенная на $\sigma$-алгебре $\mathscr{B}(\mathbb{R})$ борелевских подмножеств $\mathbb{R}$. Среднее значение ограниченной $\mathrm{H}$. $X$, таким образом, равно \[ \langle X\rangle_{\rho}=\int_{\mathbb{R}} x \mu_{\rho}(d x)=\operatorname{Tr} \rho X \] Если $\varphi$ - борелевская функция на $\mathbb{R}$, то определена $\mathrm{H}$. \[ \varphi(X)=\int \varphi(x) E(d x) \] при этом \[ \langle\varphi(X)\rangle_{\rho}=\int \varphi(x) \mu_{\rho}(d x) \] Соответствие $\varphi \rightarrow \varphi(X)$ сохраняет алгебраич. операции. Поскольку соответствие между самосопряженными операторами и их спектральными мерами взаимно однозначно, квантовая Н. альтернативно может быть определена как ортогональное разложение единицы в $H$. Изложенная концепция Н. хотя и является достаточной для большинства вопросов квантовой механики, приводит к трудностям при попытке определения «циклических» переменных типа угла или фазы, а также Н. времени, координат безмассовой релятивистской частицы и т. п. (см. Каноническая сопряженность в квантовой механике, Локализуемость). Эти трудности могут быть устранены обращением к более широкому понятию квантового измерения, допускающему рассмотрение произвольных разложений единицы в гильбертовом пространстве системы. См. также Статистический ансамбль.

эквивалент понятия переменной величины в физических теориях. В алгебраич. подходе Н. является первичным понятием - ограниченной вещественной наблюдаемой считается всякий самосопряженный элемент $C^{*}$-алгебры, описывающий данную систему (см. Наблюдаемых алгебра). Для коммутативных алгебр, описывающих классич. системы, Н. задается функцией на спектре алгебры, то есть на фазовом пространстве соответствующей системы. В квантовой механике вещественная Н. Х задается произвольным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве системы $H$. Точки спектра этого оператора (лежащего на вещественной прямой $\mathbb{R}$) интерпретируются как значения, к-рые могут быть получены при точном измерении Н. $X$. Исход измерения данной Н. является, вообще говоря, случайным; распределение вероятностей исходов зависит как от измеряемой Н., так и от состояния системы непосредственно перед измерением. Постулируется, что это распределение имеет вид: \[ \mu_{\rho}(B)=\operatorname{Tr} \rho E(B), B \in \mathscr{B}(\mathbb{R}), \] где $\rho$ - плотности оператор, описывающий состояние системы перед измерением, $E(B), B \in \mathscr{B}(\mathbb{R})$ - спектральная мера оператора $X$, определенная на $\sigma$-алгебре $\mathscr{B}(\mathbb{R})$ борелевских подмножеств $\mathbb{R}$. Среднее значение ограниченной $\mathrm{H}$. $X$, таким образом, равно \[ \langle X\rangle_{\rho}=\int_{\mathbb{R}} x \mu_{\rho}(d x)=\operatorname{Tr} \rho X \] Если $\varphi$ - борелевская функция на $\mathbb{R}$, то определена $\mathrm{H}$. \[ \varphi(X)=\int \varphi(x) E(d x) \] при этом \[ \langle\varphi(X)\rangle_{\rho}=\int \varphi(x) \mu_{\rho}(d x) \] Соответствие $\varphi \rightarrow \varphi(X)$ сохраняет алгебраич. операции. Поскольку соответствие между самосопряженными операторами и их спектральными мерами взаимно однозначно, квантовая Н. альтернативно может быть определена как ортогональное разложение единицы в $H$. Изложенная концепция Н. хотя и является достаточной для большинства вопросов квантовой механики, приводит к трудностям при попытке определения «циклических» переменных типа угла или фазы, а также Н. времени, координат безмассовой релятивистской частицы и т. п. (см. Каноническая сопряженность в квантовой механике, Локализуемость). Эти трудности могут быть устранены обращением к более широкому понятию квантового измерения, допускающему рассмотрение произвольных разложений единицы в гильбертовом пространстве системы. См. также Статистический ансамбль.