НАБЛЮДАЕМЫХ ПОЛНЫЙ НАБОР В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

набор попарно коммутирующих операторов $\mathfrak{u}\left(A_{1}, \ldots, A_{n}\right)$, характеризующихся следующими двумя свойствами: 1) всякий оператор $B$, коммутирующий со всеми операторами $A_{i} \in \mathfrak{H}$, является функцией операторов $\left.A_{1}, \ldots, A_{n} ; 2\right)$ никакой из операторов $A_{i} \in \mathfrak{U}$ не является функцией остальных операторов из множества $\mathfrak{u}$. Из первого условия следует, что система уравнений на собственные значения \[ A_{i}\left|a_{1}, \ldots, a_{n}\right\rangle=\left|a_{1}, \ldots, a_{n}\right\rangle a_{i}, i=1, \ldots, n, \] имеет единственное, с точностью до нормировочного множителя, решение. Это свойство эквивалентно 1) и часто рассматривается как определение понятия «Н. п. н.». Условие 2) эквивалентно независимости всех уравнений $\left({ }^{*}\right.$. Уравнение $\left({ }^{*}\right)$ также показывает, что набор квантовых чисел $a_{1}, \ldots, a_{n}$ однозначно определяет состояние системы. Физически это означает, что каждому Н. п. н. $\mathfrak{u}$ соответствует нек-рая экспериментальная схема, позволяющая приготовить единственное состояние с квантовыми числами, отвечающими собственным значениям операторов из набора $\mathfrak{u}$. Каждому Н. п. н. соответствует нек-рое представление квантовой механики. А именно, если $\psi$ - вектор состояния рассматриваемой системы, то вектор \[ \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=\left\langle a_{1}, \ldots, a_{n} \mid \psi\right\rangle \] является волновой функцией данной системы в $A$-представлении. Примеры. 1) В задаче о трехмерном изотропном осцилляторе Н. п. н.- три компоненты оператора $\hat{x}_{1}, \hat{x}_{2}, \hat{x}_{3}$. 2) Н. п. н.- набор $\mathfrak{u}=\left(\hat{E}, \hat{L}^{2}, \hat{L}_{3}\right)$, где $\hat{E}-$ оператор энергии, $\hat{L}^{2}$ - оператор квадрата момента, а $\hat{L}_{3}$ - оператор проекции момента на третью ось.

набор попарно коммутирующих операторов $\mathfrak{u}\left(A_{1}, \ldots, A_{n}\right)$, характеризующихся следующими двумя свойствами: 1) всякий оператор $B$, коммутирующий со всеми операторами $A_{i} \in \mathfrak{H}$, является функцией операторов $\left.A_{1}, \ldots, A_{n} ; 2\right)$ никакой из операторов $A_{i} \in \mathfrak{U}$ не является функцией остальных операторов из множества $\mathfrak{u}$. Из первого условия следует, что система уравнений на собственные значения \[ A_{i}\left|a_{1}, \ldots, a_{n}\right\rangle=\left|a_{1}, \ldots, a_{n}\right\rangle a_{i}, i=1, \ldots, n, \] имеет единственное, с точностью до нормировочного множителя, решение. Это свойство эквивалентно 1) и часто рассматривается как определение понятия «Н. п. н.». Условие 2) эквивалентно независимости всех уравнений $\left({ }^{*}\right.$. Уравнение $\left({ }^{*}\right)$ также показывает, что набор квантовых чисел $a_{1}, \ldots, a_{n}$ однозначно определяет состояние системы. Физически это означает, что каждому Н. п. н. $\mathfrak{u}$ соответствует нек-рая экспериментальная схема, позволяющая приготовить единственное состояние с квантовыми числами, отвечающими собственным значениям операторов из набора $\mathfrak{u}$. Каждому Н. п. н. соответствует нек-рое представление квантовой механики. А именно, если $\psi$ - вектор состояния рассматриваемой системы, то вектор \[ \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=\left\langle a_{1}, \ldots, a_{n} \mid \psi\right\rangle \] является волновой функцией данной системы в $A$-представлении. Примеры. 1) В задаче о трехмерном изотропном осцилляторе Н. п. н.- три компоненты оператора $\hat{x}_{1}, \hat{x}_{2}, \hat{x}_{3}$. 2) Н. п. н.- набор $\mathfrak{u}=\left(\hat{E}, \hat{L}^{2}, \hat{L}_{3}\right)$, где $\hat{E}-$ оператор энергии, $\hat{L}^{2}$ - оператор квадрата момента, а $\hat{L}_{3}$ - оператор проекции момента на третью ось.