НЕГОЛОНОМНАЯ СИСТЕМА

механическая система, на которую кроме геометрических наложены еще дифференциальные (кинематические) связи. Связи системы называются дифференциальными (неголономными), если они накладывают ограничения не только на координаты, но и на скорости точек и выражаются математически уравнениями вида: \[ f_{k}\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}, \dot{x}_{i}, \dot{y}_{i}, \dot{z}_{i}, t\right)=0, \quad k=1,2, \ldots, r, \] где $x_{i}, y_{i}, z_{i}-$ координаты, $\dot{x}_{i}, \dot{y}_{i}, \dot{z}_{i}-$ проекции скоростей, $t$ - время, $r$ - число наложенных связей. Предполагается, что уравнения (1) не могут быть непосредственно проинтегрированы; в противном случае получается голономная система. Число координат $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, определяющих положение Н.с., больше числа степеней свободы системы; так как уравнения (1) непосредственно не интегрируются, для Н.с., в отличие от голономной, нельзя заранее выразить зависимые координаты через независимые. Н. с. называется линейной, если уравнения (1) линейны относительно скоростей, то есть имеют вид: \[ \begin{gathered} f_{k}=\sum_{i=1}^{N}\left(a_{k i} \dot{x}_{i}+b_{k i} \dot{y}_{i}+c_{k i} \dot{z}_{i}\right)+d_{k}=0, \\ k=1,2, \ldots, r, \end{gathered} \] где $a, b, c$ и $d$ - функции $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ и $t ; N-$ число точек системы. Пример линейной Н. с.: шар, катящийся по шероховатой плоскости. Уравнение связи, выражающее тот факт, что точка касания шара имеет скорость, равную нулю, не может быть проинтегрировано. Возможные перемещения точек системы при связях (2) удовлетворяют условиям: \[ \sum_{i=1}^{N}\left(a_{k i} \delta x_{i}+b_{k i} \delta y_{i}+c_{k i} \delta z_{i}\right)=0 . \] Движение линейных Н.с. можно изучать с помощью Чаплыгина уравнений, Аппеля уравнений, уравнений в квазикоординатах Гамеля (см. [5]) и др. С учетом условий (3) эти уравнения могут быть получены из дифференциальных вариационных принципов или же из обобщенного интегрального принципа Гамильтона - Остроградского - принципа Воронца - Суслова [3, 4]. Н. с. называется нелинейной, если уравнения (1) нелинейны относительно скоростей. Пример: система двух точек $M(x, y, z)$ и $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$, в к-рой точка $M_{1}$ движется по заданному закону, а скорость точки $M$ зависит от взаимного расположения точек, напр. от расстояния $M M_{1}$. Уравнение связи будет \[ f \equiv \sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}-\varphi\left[\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2}}\right]=0 . \] Уравнения движения нелинейных Н. с. могут быть получены из тех же принципов механики, что и для линейных Н. с., если возможные перемещения точек системы удовлетворяют условию Четаева (см. [6]): \[ \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial f_{k}}{\partial \dot{x}_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial f_{k}}{\partial \dot{y}_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial f_{k}}{\partial \dot{z}_{i}} \delta z_{i}\right)=0 . \] Механика Н.с. находит приложения при решении ряда задач современной техники. Лит.: [1] Герц Г., Принципы механики, изложенные в новой связи, пер. с нем., М., 1959; [2] Чаплыгин С. А., Исследования по динамике неголономных систем, М.- Л., 1949; [3] Суслов Г. К., Теоретическая механика, 3 изд., М.- Л., 1944; [4] Воронец П. В., Об уравнениях движения для неголономных систем, «Математич. сб.», 1901, т. 22, вып. 4; [5] Hamel G., Theoretische Mechanik, B., 1949; [6] Четаев Н., О принципе Гаусса, «Изв. Казанского физико-математич. общества при Казанском ун-те», 1932-1933, т. 6, сер. 3; [7] Муштари Х. М., «Математич. сб.», 1932, т. 39, № 1-2 (содержит обзор работ по Н.с. до 1932); [8] Добронравов В. В., «Уч. зап. МГУ», 1948, т. 2, вып. 122; [9] Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, \begin{tabular}{ll} т. 16, М., 1987. & Г. С. Погосов. \\ \hline \end{tabular}

механическая система, на которую кроме геометрических наложены еще дифференциальные (кинематические) связи. Связи системы называются дифференциальными (неголономными), если они накладывают ограничения не только на координаты, но и на скорости точек и выражаются математически уравнениями вида: \[ f_{k}\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}, \dot{x}_{i}, \dot{y}_{i}, \dot{z}_{i}, t\right)=0, \quad k=1,2, \ldots, r, \] где $x_{i}, y_{i}, z_{i}-$ координаты, $\dot{x}_{i}, \dot{y}_{i}, \dot{z}_{i}-$ проекции скоростей, $t$ - время, $r$ - число наложенных связей. Предполагается, что уравнения (1) не могут быть непосредственно проинтегрированы; в противном случае получается голономная система. Число координат $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, определяющих положение Н.с., больше числа степеней свободы системы; так как уравнения (1) непосредственно не интегрируются, для Н.с., в отличие от голономной, нельзя заранее выразить зависимые координаты через независимые. Н. с. называется линейной, если уравнения (1) линейны относительно скоростей, то есть имеют вид: \[ \begin{gathered} f_{k}=\sum_{i=1}^{N}\left(a_{k i} \dot{x}_{i}+b_{k i} \dot{y}_{i}+c_{k i} \dot{z}_{i}\right)+d_{k}=0, \\ k=1,2, \ldots, r, \end{gathered} \] где $a, b, c$ и $d$ - функции $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ и $t ; N-$ число точек системы. Пример линейной Н. с.: шар, катящийся по шероховатой плоскости. Уравнение связи, выражающее тот факт, что точка касания шара имеет скорость, равную нулю, не может быть проинтегрировано. Возможные перемещения точек системы при связях (2) удовлетворяют условиям: \[ \sum_{i=1}^{N}\left(a_{k i} \delta x_{i}+b_{k i} \delta y_{i}+c_{k i} \delta z_{i}\right)=0 . \] Движение линейных Н.с. можно изучать с помощью Чаплыгина уравнений, Аппеля уравнений, уравнений в квазикоординатах Гамеля (см. [5]) и др. С учетом условий (3) эти уравнения могут быть получены из дифференциальных вариационных принципов или же из обобщенного интегрального принципа Гамильтона - Остроградского - принципа Воронца - Суслова [3, 4]. Н. с. называется нелинейной, если уравнения (1) нелинейны относительно скоростей. Пример: система двух точек $M(x, y, z)$ и $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$, в к-рой точка $M_{1}$ движется по заданному закону, а скорость точки $M$ зависит от взаимного расположения точек, напр. от расстояния $M M_{1}$. Уравнение связи будет \[ f \equiv \sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}-\varphi\left[\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2}}\right]=0 . \] Уравнения движения нелинейных Н. с. могут быть получены из тех же принципов механики, что и для линейных Н. с., если возможные перемещения точек системы удовлетворяют условию Четаева (см. [6]): \[ \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial f_{k}}{\partial \dot{x}_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial f_{k}}{\partial \dot{y}_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial f_{k}}{\partial \dot{z}_{i}} \delta z_{i}\right)=0 . \] Механика Н.с. находит приложения при решении ряда задач современной техники. Лит.: [1] Герц Г., Принципы механики, изложенные в новой связи, пер. с нем., М., 1959; [2] Чаплыгин С. А., Исследования по динамике неголономных систем, М.- Л., 1949; [3] Суслов Г. К., Теоретическая механика, 3 изд., М.- Л., 1944; [4] Воронец П. В., Об уравнениях движения для неголономных систем, «Математич. сб.», 1901, т. 22, вып. 4; [5] Hamel G., Theoretische Mechanik, B., 1949; [6] Четаев Н., О принципе Гаусса, «Изв. Казанского физико-математич. общества при Казанском ун-те», 1932-1933, т. 6, сер. 3; [7] Муштари Х. М., «Математич. сб.», 1932, т. 39, № 1-2 (содержит обзор работ по Н.с. до 1932); [8] Добронравов В. В., «Уч. зап. МГУ», 1948, т. 2, вып. 122; [9] Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, \begin{tabular}{ll} т. 16, М., 1987. & Г. С. Погосов. \\ \hline \end{tabular}