НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕЗОНАНС

совокупность явлений в нелинейных колебательных системах, обусловленная влиянием резонансных соотношений между частотами колебаний. Рассматриваемые колебательные системы - это обычно системы с быстро вращающимися фазами (см. Быстро-медленные системы). Для описания Н. р. метод усреднения предписывает частично усреднить систему с учетом выбранных резонансных соотношений, то есть отбросить резонансные гармоники в фурье-разложении правых частей системы по фазам. Полученная усредненная система используется для описания движения в области фазового пространства, где приближенно выполнены эти резонансные соотношения, - резонансной зоне. Дальнейшие упрощения возникают в случае единственного резонансного соотношения. Пусть в этом случае имеется система с медленными переменными $I \in \mathbb{R}^{n}$, частотами $\omega(I)$, фазами $\operatorname{modd} 2 \pi \in T^{m}$ и возмущением порядка $\varepsilon$ в $O(\sqrt{\varepsilon})$ окрестности резонансной поверхности $\{I:(k, \omega(I))=0\} ; k \in \mathbb{Z}^{m} \backslash\{0\},(\cdot, \cdot)$ - стандартное скалярное произведение в $\mathbb{R}^{m}$. При условии $\partial / \partial I(k \omega(I)) \neq 0$ (нелинейность) уравнения для изменения резонансной фазы $\gamma=(k, \varphi)$ приводятся к виду (см. [1], гл. 5, § 1): \[ \gamma^{\prime \prime}=P(\gamma, \sigma)+O(\sqrt{\varepsilon}), \sigma^{\prime}=O(\sqrt{\varepsilon}) . \] Здесь штрих обозначает производную по $\tau=\sqrt{\varepsilon} t, \sigma \in \mathbb{R}^{n-1}$ задает точку на резонансной поверхности, $P-$ производная $\varepsilon^{-1}(k, \omega(I))$ в силу рассматриваемой системы, вычисленная в точке резонансной поверхности, величина $\gamma^{\prime}$ характеризует смещение поперек резонансной поверхности. Эта редукция задачи восходит к [4], [5]. При $\varepsilon=0, \sigma=$ const уравнение (*) переходит в уравнение \[ \gamma^{\prime \prime}+P(\gamma, \sigma)=0 \] описывающее движение маятника в потенциальном силовом поле при наличии дополнительного крутящего момента \[ L(\sigma)=(2 \pi)^{-1} \int_{0}^{2 \pi} P(\gamma, \sigma) d \gamma \] Фазовый портрет этого маятника в типичном случае имеет вид либо рис. $a$ (особые точки отсутствуют), либо рис. $б$ (конечно, число особых точек и колебательных областей произвольно). В случае рис. $\sigma$ движению маятника в колебательной и вращательной областях отвечает движение точек исходной системы, соответственно, проходящих окрестность резонанса и застрявших вблизи резонанса. Замкнутые кривые на рис. б называются фазовыми колебаниями, потому что в исходных переменных I, $\varphi$ колебания вдоль этих кривых испытывает, в основном, фаза $\gamma=(k, \varphi)$. Период фазовых колебаний порядка $1 / \sqrt{\varepsilon}$. Влияние членов $O(\sqrt{\varepsilon})$ в (*) приводит к возможности перехода через сепаратрису на рис. $\sigma$ и захвата в колебательную область (захват в резонанс) или выхода из колебательной области (выход из резонанса). Влияние членов $O(\sqrt{\varepsilon})$ на движение точек в колебательной области рис. $\sigma$ можно описать с помощью усреднения по фазовым колебаниям (см. [1], гл. 5, § 1). Если исходная система с вращающимися фазами гамильтонова, то $L(\sigma) \equiv 0$. Фазовый портрет системы $(*)$ при $\varepsilon=0$, $\sigma=$ const имеет вид рис. в. Исследование этого случая восходит к А. Пуанкаре (см. [3]).  Фазовые портреты нелинейного резонанса. Использованная процедура частичного усреднения приводит лишь к приближенному описанию Н. р. В частности, при таком подходе не обнаруживается расщепления сепаратрис на рис. в, разрушения части фазовых колебаний и возникновения стохастич. слоев (см. [2], гл. 5). Лит.: [1] Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А.И., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 3, М., 1985, с. 5-303; [2] Заславский Г. М., Сагдеев Р. З., Введение в нелинейную физику, М., 1988; [3] Пуанкаре А., Избранные труды, т. 1-3, М., 1971-74; [4] Чириков Б. В., «Доклады АН СССР», 1959, т. 125, № 5, с. 1015-18; [5] Molchanov A. M., «Icarus», 1968, v. 8, № 2, p. $203-15$. А. И. Нейштадт.

совокупность явлений в нелинейных колебательных системах, обусловленная влиянием резонансных соотношений между частотами колебаний. Рассматриваемые колебательные системы - это обычно системы с быстро вращающимися фазами (см. Быстро-медленные системы). Для описания Н. р. метод усреднения предписывает частично усреднить систему с учетом выбранных резонансных соотношений, то есть отбросить резонансные гармоники в фурье-разложении правых частей системы по фазам. Полученная усредненная система используется для описания движения в области фазового пространства, где приближенно выполнены эти резонансные соотношения, - резонансной зоне. Дальнейшие упрощения возникают в случае единственного резонансного соотношения. Пусть в этом случае имеется система с медленными переменными $I \in \mathbb{R}^{n}$, частотами $\omega(I)$, фазами $\operatorname{modd} 2 \pi \in T^{m}$ и возмущением порядка $\varepsilon$ в $O(\sqrt{\varepsilon})$ окрестности резонансной поверхности $\{I:(k, \omega(I))=0\} ; k \in \mathbb{Z}^{m} \backslash\{0\},(\cdot, \cdot)$ - стандартное скалярное произведение в $\mathbb{R}^{m}$. При условии $\partial / \partial I(k \omega(I)) \neq 0$ (нелинейность) уравнения для изменения резонансной фазы $\gamma=(k, \varphi)$ приводятся к виду (см. [1], гл. 5, § 1): \[ \gamma^{\prime \prime}=P(\gamma, \sigma)+O(\sqrt{\varepsilon}), \sigma^{\prime}=O(\sqrt{\varepsilon}) . \] Здесь штрих обозначает производную по $\tau=\sqrt{\varepsilon} t, \sigma \in \mathbb{R}^{n-1}$ задает точку на резонансной поверхности, $P-$ производная $\varepsilon^{-1}(k, \omega(I))$ в силу рассматриваемой системы, вычисленная в точке резонансной поверхности, величина $\gamma^{\prime}$ характеризует смещение поперек резонансной поверхности. Эта редукция задачи восходит к [4], [5]. При $\varepsilon=0, \sigma=$ const уравнение (*) переходит в уравнение \[ \gamma^{\prime \prime}+P(\gamma, \sigma)=0 \] описывающее движение маятника в потенциальном силовом поле при наличии дополнительного крутящего момента \[ L(\sigma)=(2 \pi)^{-1} \int_{0}^{2 \pi} P(\gamma, \sigma) d \gamma \] Фазовый портрет этого маятника в типичном случае имеет вид либо рис. $a$ (особые точки отсутствуют), либо рис. $б$ (конечно, число особых точек и колебательных областей произвольно). В случае рис. $\sigma$ движению маятника в колебательной и вращательной областях отвечает движение точек исходной системы, соответственно, проходящих окрестность резонанса и застрявших вблизи резонанса. Замкнутые кривые на рис. б называются фазовыми колебаниями, потому что в исходных переменных I, $\varphi$ колебания вдоль этих кривых испытывает, в основном, фаза $\gamma=(k, \varphi)$. Период фазовых колебаний порядка $1 / \sqrt{\varepsilon}$. Влияние членов $O(\sqrt{\varepsilon})$ в (*) приводит к возможности перехода через сепаратрису на рис. $\sigma$ и захвата в колебательную область (захват в резонанс) или выхода из колебательной области (выход из резонанса). Влияние членов $O(\sqrt{\varepsilon})$ на движение точек в колебательной области рис. $\sigma$ можно описать с помощью усреднения по фазовым колебаниям (см. [1], гл. 5, § 1). Если исходная система с вращающимися фазами гамильтонова, то $L(\sigma) \equiv 0$. Фазовый портрет системы $(*)$ при $\varepsilon=0$, $\sigma=$ const имеет вид рис. в. Исследование этого случая восходит к А. Пуанкаре (см. [3]).  Фазовые портреты нелинейного резонанса. Использованная процедура частичного усреднения приводит лишь к приближенному описанию Н. р. В частности, при таком подходе не обнаруживается расщепления сепаратрис на рис. в, разрушения части фазовых колебаний и возникновения стохастич. слоев (см. [2], гл. 5). Лит.: [1] Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А.И., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 3, М., 1985, с. 5-303; [2] Заславский Г. М., Сагдеев Р. З., Введение в нелинейную физику, М., 1988; [3] Пуанкаре А., Избранные труды, т. 1-3, М., 1971-74; [4] Чириков Б. В., «Доклады АН СССР», 1959, т. 125, № 5, с. 1015-18; [5] Molchanov A. M., «Icarus», 1968, v. 8, № 2, p. $203-15$. А. И. Нейштадт.