НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ СООТНОШЕНИЕ

фундаментальное неравенство, связывающее дисперсии (неопределенности) двух квантовых наблюдаемых $X$, $Y$. Н.с. гласит: \[ D_{\rho}(X) \cdot D_{\rho}(Y) \geqslant \frac{1}{4}\left|\langle[X, Y]\rangle_{\rho}\right|^{2}, \] где $D_{\rho}(X)=\left\langle\left(X-\langle X\rangle_{\rho}\right)^{2}\right\rangle_{\rho}-$ дисперсия наблюдаемой $X$ в состоянии, описываемом оператором плотности $\rho,\langle X\rangle_{\rho}=$ $=\operatorname{Tr} \rho X$, а $[X, Y]-$ коммутатор операторов $X, Y$. Н.с. показывает, в частности, что не существует квантового состояния, в к-ром все наблюдаемые имели бы точно определенные значения, и тем самым демонстрирует одно из принципиальных отличий квантовой статистики от классической. Для наблюдаемых координаты $Q$ и импульса $P$, подчиняющихся каноническому коммутационному соотношению $[Q, P]=i \hbar I$, неравенство (1) переходит в соотношение неопределенностей Гейзенберга - Вейля (см. [1]): \[ D_{\rho}(Q) D_{\rho}(P) \geqslant \frac{\hbar^{2}}{4} \] (относительно обобщений на другие пары канонич. переменных см. Каноническая сопряженность в квантовой механике). Неопределенность наблюдаемой может измеряться не только дисперсией; существуют многочисленные варианты Н.с. для других мер неопределенности (см. [2]). Пусть, напр., $\psi(x)$ - волновая функция нерелятивистской квантовой частицы в $n$-мерном координатном пространстве, $\tilde{\psi}(p)-$ ее преобразование Фурье. Имеет место энтропийное соотношение неопределенностей: \[ S(\psi)+S(\tilde{\psi}) \geqslant n \ln (\pi e) \] где \[ S(\psi)=-\int \ldots \int|\psi(x)|^{2} \ln |\psi(x)|^{2} d x_{1} \ldots d x_{n}, \] к-рое усиливает неравенство (2) для чистых состояний.

фундаментальное неравенство, связывающее дисперсии (неопределенности) двух квантовых наблюдаемых $X$, $Y$. Н.с. гласит: \[ D_{\rho}(X) \cdot D_{\rho}(Y) \geqslant \frac{1}{4}\left|\langle[X, Y]\rangle_{\rho}\right|^{2}, \] где $D_{\rho}(X)=\left\langle\left(X-\langle X\rangle_{\rho}\right)^{2}\right\rangle_{\rho}-$ дисперсия наблюдаемой $X$ в состоянии, описываемом оператором плотности $\rho,\langle X\rangle_{\rho}=$ $=\operatorname{Tr} \rho X$, а $[X, Y]-$ коммутатор операторов $X, Y$. Н.с. показывает, в частности, что не существует квантового состояния, в к-ром все наблюдаемые имели бы точно определенные значения, и тем самым демонстрирует одно из принципиальных отличий квантовой статистики от классической. Для наблюдаемых координаты $Q$ и импульса $P$, подчиняющихся каноническому коммутационному соотношению $[Q, P]=i \hbar I$, неравенство (1) переходит в соотношение неопределенностей Гейзенберга - Вейля (см. [1]): \[ D_{\rho}(Q) D_{\rho}(P) \geqslant \frac{\hbar^{2}}{4} \] (относительно обобщений на другие пары канонич. переменных см. Каноническая сопряженность в квантовой механике). Неопределенность наблюдаемой может измеряться не только дисперсией; существуют многочисленные варианты Н.с. для других мер неопределенности (см. [2]). Пусть, напр., $\psi(x)$ - волновая функция нерелятивистской квантовой частицы в $n$-мерном координатном пространстве, $\tilde{\psi}(p)-$ ее преобразование Фурье. Имеет место энтропийное соотношение неопределенностей: \[ S(\psi)+S(\tilde{\psi}) \geqslant n \ln (\pi e) \] где \[ S(\psi)=-\int \ldots \int|\psi(x)|^{2} \ln |\psi(x)|^{2} d x_{1} \ldots d x_{n}, \] к-рое усиливает неравенство (2) для чистых состояний.