НОРМАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

запись произведения операторов в виде, когда все операторы рождения стоят слева от всех операторов уничтожения. Н. п. возникает в методе вторичного квантования; при этом предполагается, что любой оператор представим в виде полинома по операторам рождения и уничтожения. Отличительное свойство Н. п.- равенство нулю вакуумного среднего от любого оператора, записанного в виде Н. п. и не содержащего слагаемого, кратного единичному оператору. Н. п. было введено Дж. Виком (G. Wick, 1950) для того, чтобы исключить из квантовой теории поля формальные бесконечные величины типа энергии и заряда вакуумного состояния. Понятие Н. п. оказывается основным при решении многих фундаментальных вопросов квантовой теории поля таких, как вывод фейнмановской диаграммной техники (см. Фейнмана диаграмма), установление связи между операторным формализмом и формализмом функционального интеграла, при построении аксиоматич. квантовой теории поля и т. п. Н. п. операторов $A_{1}, \ldots, A_{n}$ обозначается \[ : A_{1}, \ldots, A_{n}: \] Все свойства обычного произведения (линейность и т. д.) остаются и для Н. п., к-рое, кроме того, обладает свойством перестановочности операторов под знаком Н. п., при этом операторы, подчиняющиеся статистике Бозе-Эйнштейна, оказываются перестановочными, а подчиняющиеся статистике Ферми-Дирака - антиперестановочными. Все динамич. величины, зависящие от операторов с одинаковыми аргументами (лагранжиан, тензор энергии-импульса, заряд и т. д.), во вторично-квантованной теории записываются в форме Н. п. Напр., оператор числа частиц для свободного скалярного поля $\varphi(x)$, удовлетворяющего Клейна-Гордона уравнению, в терминах операторов рождения $\varphi_{\mathbf{k}}^{+}$и уничтожения $\varphi_{\mathbf{k}}^{-}$частиц с импульсом $\mathbf{k}$ имеет вид:  Для вакуумного среднего оператора $N$ получают \[ (N)_{0}=\langle 0|N| 0\rangle=0 \] так как $\varphi_{\mathbf{k}}^{-}|0\rangle=0$. Если бы $N$ не был представлен в виде Н. п., то выражение в скобках, возникающее из принципа соответствия с классич. теорией, привело бы к $(N)_{0}$, пропорциональному расходящемуся интегралу. Это типичный пример перестройки произведения в формализме Н. п. для операторов, подчиняюшихся статистике Бозе-Эйнштейна. В случае фермионов выражение в скобках имеет вид: \[ \bar{a}_{\mathbf{k}, s}^{+} a_{\mathbf{k}, s}^{-}-\bar{a}_{\mathbf{k}, s}^{-} a_{\mathbf{k}, s}^{+} \] ( $s$ - спиновая переменная), и для получения правильного оператора $N$, суммирующего все фермионные состояния, операторы рождения $\left(a^{+}\right)$и уничтожения $\left(a^{-}\right)$фермионов должны антикоммутировать под знаком Н. п. (черта над оператором означает дираковское сопряжение). Это - утверждение теоремы о связи спина и статистики (Паули теорема), вытекающей из принципа соответствия и формализма Н. п. Для вычислений в квантовой теории поля необходимо установить связь Н. п. с обычным произведением и хронологическим произведением. Эту связь устанавливают Вика теоремы. Спаривание двух линейных по операторам рождения и уничтожения операторов (соответственно хронологич. спаривание), обозначаемое ${\overrightarrow{A_{1}}}_{2}$, определяется как вакуумное среднее от обычного произведения (хронологич. произведения). Спаривание дается соответствующей пере- становочной функцией. Для Н. п. двух линейных операторов получают  ( $x, y$ - точки пространства-времени). В общем случае справедлива следующая теорема Вика: обычное (хронологическое) произведение $n$ линейных операторов равно сумме Н. п. со всеми возможными спариваниями (хронологич. спариваниями), включая и Н. п. без спариваний. Линейность Н. п. гарантирует то, что спаривание выносится за знак Н. п. При разложении действия в ряд теории возмущений возникает задача представить в виде Н. п. произведение операторов (напр., лагранжианов взаимодействия), к-рые сами уже приведены к форме Н. п. Соответствующая теорема Вика утверждает, что такое произведение равно сумме всех соответствующих Н. п. со спариваниями, из числа к-рых исключены спаривания между линейными операторами, находившимися в первоначальном произведении под знаком одного Н. п. Понятие Н. п. позволяет установить связь между операторным формализмом и формализмом функционального интеграла. Для системы с одной степенью свободы каждому вектору Фока пространства $f\left(a^{+}\right)|0\rangle$ ставится в соответствие аналитич. функция $f\left(a^{*}\right)$ числового аргумента $a^{*}\left({ }^{*}-\right.$ знак комплексного сопряжения). Оператор уничтожения в таком голоморфном представлении есть оператор дифференцирования по $a^{*}$, а произвольному оператору $A$ соответствует интегральный оператор с ядром $A\left(a^{*}, a\right)$. Действие оператора $A$ на вектор $f$, скалярное произведение двух векторов, произведение операторов $A_{1} A_{2}$ описываются соответствующими свертками с гауссовой мерой интегрирования: \[ d \mu_{\alpha}=\exp \left(-\alpha^{*} \alpha\right)(2 \pi i)^{-1} d \alpha^{*} d \alpha . \] Для ядра произведения двух операторов имеем \[ \left(A_{1} A_{2}\right)\left(a^{*}, a\right)=\int A_{1}\left(a^{*}, \alpha\right) A_{2}\left(\alpha^{*}, a\right) d \mu_{\alpha} . \] Поставим в соответствие оператору $A$, заданному в виде Н. п.: \[ A=\sum_{n, m} K_{n m}\left(a^{+}\right)^{n}\left(a^{-}\right)^{m}, \] функцию \[ K\left(a^{*}, a\right)=\sum_{n, m} K_{n m}\left(a^{*}\right)^{n} a^{m} . \] Тогда ядро оператора $A$ связано с $K\left(a^{*}, a\right)$ соотношением \[ A\left(a^{*}, a\right)=\exp \left(a^{*} a\right) K\left(a^{*}, a\right) . \] Рассмотрим оператор эволюции \[ U(\Delta t)=\exp (-i H \Delta t) \] где $H=: h\left(a^{+}, a^{-}\right)$:. Его ядро для малых $\Delta t$ : \[ U\left(\Delta t ; a^{*}, a\right)=\exp \left\{a^{*} a-i h\left(a^{*}, a\right) \Delta t\right\} \] для конечного интервала $t^{\prime}-t^{\prime \prime}=N \Delta t$ следует взять свертку $N$ таких ядер. При этом из первого члена и меры интегрирования возникнет сумма \[ \sum_{i=1}^{N-1}\left(a_{i+1}^{*}-a_{i}^{*}\right) a_{i}+a_{1}^{*} a_{0}, \] и после симметризации по $a^{*}=a_{N}$ и $a=a_{0}$ в формальном пределе $\Delta t \rightarrow 0, N \rightarrow \infty$ получают \[ \begin{gathered} U\left(t^{\prime \prime}-t^{\prime} ; a^{*}, a\right)=\int \exp \left\{\frac{1}{2}\left[a^{*}\left(t^{\prime \prime}\right) a\left(t^{\prime \prime}\right)+a^{*}\left(t^{\prime}\right) a\left(t^{\prime}\right)\right]+\right. \\ +i \int_{t^{\prime}}^{t^{\prime \prime}}\left[\frac{1}{2 i}\left(d^{*} a-a^{*} d-h\left(a^{*}, a\right)\right] d t\right\} \prod_{t} \frac{d a^{*} d a}{2 \pi i} . \end{gathered} \] Это выражение и есть формула для оператора эволюции, возникающая в методе функционального интеграла.

запись произведения операторов в виде, когда все операторы рождения стоят слева от всех операторов уничтожения. Н. п. возникает в методе вторичного квантования; при этом предполагается, что любой оператор представим в виде полинома по операторам рождения и уничтожения. Отличительное свойство Н. п.- равенство нулю вакуумного среднего от любого оператора, записанного в виде Н. п. и не содержащего слагаемого, кратного единичному оператору. Н. п. было введено Дж. Виком (G. Wick, 1950) для того, чтобы исключить из квантовой теории поля формальные бесконечные величины типа энергии и заряда вакуумного состояния. Понятие Н. п. оказывается основным при решении многих фундаментальных вопросов квантовой теории поля таких, как вывод фейнмановской диаграммной техники (см. Фейнмана диаграмма), установление связи между операторным формализмом и формализмом функционального интеграла, при построении аксиоматич. квантовой теории поля и т. п. Н. п. операторов $A_{1}, \ldots, A_{n}$ обозначается \[ : A_{1}, \ldots, A_{n}: \] Все свойства обычного произведения (линейность и т. д.) остаются и для Н. п., к-рое, кроме того, обладает свойством перестановочности операторов под знаком Н. п., при этом операторы, подчиняющиеся статистике Бозе-Эйнштейна, оказываются перестановочными, а подчиняющиеся статистике Ферми-Дирака - антиперестановочными. Все динамич. величины, зависящие от операторов с одинаковыми аргументами (лагранжиан, тензор энергии-импульса, заряд и т. д.), во вторично-квантованной теории записываются в форме Н. п. Напр., оператор числа частиц для свободного скалярного поля $\varphi(x)$, удовлетворяющего Клейна-Гордона уравнению, в терминах операторов рождения $\varphi_{\mathbf{k}}^{+}$и уничтожения $\varphi_{\mathbf{k}}^{-}$частиц с импульсом $\mathbf{k}$ имеет вид:  Для вакуумного среднего оператора $N$ получают \[ (N)_{0}=\langle 0|N| 0\rangle=0 \] так как $\varphi_{\mathbf{k}}^{-}|0\rangle=0$. Если бы $N$ не был представлен в виде Н. п., то выражение в скобках, возникающее из принципа соответствия с классич. теорией, привело бы к $(N)_{0}$, пропорциональному расходящемуся интегралу. Это типичный пример перестройки произведения в формализме Н. п. для операторов, подчиняюшихся статистике Бозе-Эйнштейна. В случае фермионов выражение в скобках имеет вид: \[ \bar{a}_{\mathbf{k}, s}^{+} a_{\mathbf{k}, s}^{-}-\bar{a}_{\mathbf{k}, s}^{-} a_{\mathbf{k}, s}^{+} \] ( $s$ - спиновая переменная), и для получения правильного оператора $N$, суммирующего все фермионные состояния, операторы рождения $\left(a^{+}\right)$и уничтожения $\left(a^{-}\right)$фермионов должны антикоммутировать под знаком Н. п. (черта над оператором означает дираковское сопряжение). Это - утверждение теоремы о связи спина и статистики (Паули теорема), вытекающей из принципа соответствия и формализма Н. п. Для вычислений в квантовой теории поля необходимо установить связь Н. п. с обычным произведением и хронологическим произведением. Эту связь устанавливают Вика теоремы. Спаривание двух линейных по операторам рождения и уничтожения операторов (соответственно хронологич. спаривание), обозначаемое ${\overrightarrow{A_{1}}}_{2}$, определяется как вакуумное среднее от обычного произведения (хронологич. произведения). Спаривание дается соответствующей пере- становочной функцией. Для Н. п. двух линейных операторов получают  ( $x, y$ - точки пространства-времени). В общем случае справедлива следующая теорема Вика: обычное (хронологическое) произведение $n$ линейных операторов равно сумме Н. п. со всеми возможными спариваниями (хронологич. спариваниями), включая и Н. п. без спариваний. Линейность Н. п. гарантирует то, что спаривание выносится за знак Н. п. При разложении действия в ряд теории возмущений возникает задача представить в виде Н. п. произведение операторов (напр., лагранжианов взаимодействия), к-рые сами уже приведены к форме Н. п. Соответствующая теорема Вика утверждает, что такое произведение равно сумме всех соответствующих Н. п. со спариваниями, из числа к-рых исключены спаривания между линейными операторами, находившимися в первоначальном произведении под знаком одного Н. п. Понятие Н. п. позволяет установить связь между операторным формализмом и формализмом функционального интеграла. Для системы с одной степенью свободы каждому вектору Фока пространства $f\left(a^{+}\right)|0\rangle$ ставится в соответствие аналитич. функция $f\left(a^{*}\right)$ числового аргумента $a^{*}\left({ }^{*}-\right.$ знак комплексного сопряжения). Оператор уничтожения в таком голоморфном представлении есть оператор дифференцирования по $a^{*}$, а произвольному оператору $A$ соответствует интегральный оператор с ядром $A\left(a^{*}, a\right)$. Действие оператора $A$ на вектор $f$, скалярное произведение двух векторов, произведение операторов $A_{1} A_{2}$ описываются соответствующими свертками с гауссовой мерой интегрирования: \[ d \mu_{\alpha}=\exp \left(-\alpha^{*} \alpha\right)(2 \pi i)^{-1} d \alpha^{*} d \alpha . \] Для ядра произведения двух операторов имеем \[ \left(A_{1} A_{2}\right)\left(a^{*}, a\right)=\int A_{1}\left(a^{*}, \alpha\right) A_{2}\left(\alpha^{*}, a\right) d \mu_{\alpha} . \] Поставим в соответствие оператору $A$, заданному в виде Н. п.: \[ A=\sum_{n, m} K_{n m}\left(a^{+}\right)^{n}\left(a^{-}\right)^{m}, \] функцию \[ K\left(a^{*}, a\right)=\sum_{n, m} K_{n m}\left(a^{*}\right)^{n} a^{m} . \] Тогда ядро оператора $A$ связано с $K\left(a^{*}, a\right)$ соотношением \[ A\left(a^{*}, a\right)=\exp \left(a^{*} a\right) K\left(a^{*}, a\right) . \] Рассмотрим оператор эволюции \[ U(\Delta t)=\exp (-i H \Delta t) \] где $H=: h\left(a^{+}, a^{-}\right)$:. Его ядро для малых $\Delta t$ : \[ U\left(\Delta t ; a^{*}, a\right)=\exp \left\{a^{*} a-i h\left(a^{*}, a\right) \Delta t\right\} \] для конечного интервала $t^{\prime}-t^{\prime \prime}=N \Delta t$ следует взять свертку $N$ таких ядер. При этом из первого члена и меры интегрирования возникнет сумма \[ \sum_{i=1}^{N-1}\left(a_{i+1}^{*}-a_{i}^{*}\right) a_{i}+a_{1}^{*} a_{0}, \] и после симметризации по $a^{*}=a_{N}$ и $a=a_{0}$ в формальном пределе $\Delta t \rightarrow 0, N \rightarrow \infty$ получают \[ \begin{gathered} U\left(t^{\prime \prime}-t^{\prime} ; a^{*}, a\right)=\int \exp \left\{\frac{1}{2}\left[a^{*}\left(t^{\prime \prime}\right) a\left(t^{\prime \prime}\right)+a^{*}\left(t^{\prime}\right) a\left(t^{\prime}\right)\right]+\right. \\ +i \int_{t^{\prime}}^{t^{\prime \prime}}\left[\frac{1}{2 i}\left(d^{*} a-a^{*} d-h\left(a^{*}, a\right)\right] d t\right\} \prod_{t} \frac{d a^{*} d a}{2 \pi i} . \end{gathered} \] Это выражение и есть формула для оператора эволюции, возникающая в методе функционального интеграла.