НЬЮТОНА УРАВНЕНИЕ

любая система дифференциальных уравнений 2-го порядка \[ \ddot{x}=F(x, \dot{x}, t), \] $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$. Н. у. описывает движение в любой механич. системе с конечным числом степеней свободы $n$; функция $F$ в этой ситуации имеет смысл силы. Часто рассматривают автономные, то есть не зависящие от времени уравнения \[ \ddot{x}=F(x, \dot{x}), \] а также не зависящие и от скорости $\dot{x}$ : \[ \ddot{x}=F(x) \] и другие частные случаи уравнений, инвариантных относительно разных подгрупп или всей группы преобразований Галилея пространства-времени (см. [1], [2]). Система $\ddot{x}=F(x)$ является обратимой системой, что сближает ее с гамильтоновым уравнением (см. [3]). По-настоящему гамильтоновым оно является в случае потенциальности силы $F(x)$, то есть в случае существования функции $U(x)$ такой, что $F(x)=-\partial U / \partial x$. Такое уравнение называется консервативным уравнением Ньютона. Ему можно придать и лагранжеву форму \[ \partial L / \partial \dot{x}-\partial L / \partial x=0, \] где $L=\dot{x}^{2} / 2-U(x)$, и гамильтонову \[ \dot{x}=-\partial H / \partial p, \dot{p}=\partial H / \partial x, \] где $H=p^{2} / 2+U(x)$. Консервативное уравнение имеет интеграл $H=H(x, p), p=\dot{x}$, имеющий смысл энергии. В случае $n=1$ любое Н. у. является консервативным: \[ U(x)=-\int F(x) d x \] Из-за наличия интеграла $H$ такое уравнение интегрируется в квадратурах - решения $x=\varphi(t)$ в неявном виде задаются формулами \[ t-t_{0}=\int_{x_{0}}^{\varphi(t)} \frac{\partial \xi}{\sqrt{2(E-U(x))}}, \] где $E-$ значение энергии $H$ в начальной точке $\left(x_{0}, \dot{x}_{0}\right)$. Существование интеграла $H$ также позволяет сравнительно просто по графику потенциальной энергии $U(x)$ построить фазовый портрет, то есть картину траекторий $x(t), p(t)$, $p=\dot{x}$, на плоскости $x, p$ (см. [4]). Н. у. не только непосредственно описывает многие явления природы, но и лежит в основе многих самостоятельных разделов теоретич. механики и физики.

любая система дифференциальных уравнений 2-го порядка \[ \ddot{x}=F(x, \dot{x}, t), \] $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$. Н. у. описывает движение в любой механич. системе с конечным числом степеней свободы $n$; функция $F$ в этой ситуации имеет смысл силы. Часто рассматривают автономные, то есть не зависящие от времени уравнения \[ \ddot{x}=F(x, \dot{x}), \] а также не зависящие и от скорости $\dot{x}$ : \[ \ddot{x}=F(x) \] и другие частные случаи уравнений, инвариантных относительно разных подгрупп или всей группы преобразований Галилея пространства-времени (см. [1], [2]). Система $\ddot{x}=F(x)$ является обратимой системой, что сближает ее с гамильтоновым уравнением (см. [3]). По-настоящему гамильтоновым оно является в случае потенциальности силы $F(x)$, то есть в случае существования функции $U(x)$ такой, что $F(x)=-\partial U / \partial x$. Такое уравнение называется консервативным уравнением Ньютона. Ему можно придать и лагранжеву форму \[ \partial L / \partial \dot{x}-\partial L / \partial x=0, \] где $L=\dot{x}^{2} / 2-U(x)$, и гамильтонову \[ \dot{x}=-\partial H / \partial p, \dot{p}=\partial H / \partial x, \] где $H=p^{2} / 2+U(x)$. Консервативное уравнение имеет интеграл $H=H(x, p), p=\dot{x}$, имеющий смысл энергии. В случае $n=1$ любое Н. у. является консервативным: \[ U(x)=-\int F(x) d x \] Из-за наличия интеграла $H$ такое уравнение интегрируется в квадратурах - решения $x=\varphi(t)$ в неявном виде задаются формулами \[ t-t_{0}=\int_{x_{0}}^{\varphi(t)} \frac{\partial \xi}{\sqrt{2(E-U(x))}}, \] где $E-$ значение энергии $H$ в начальной точке $\left(x_{0}, \dot{x}_{0}\right)$. Существование интеграла $H$ также позволяет сравнительно просто по графику потенциальной энергии $U(x)$ построить фазовый портрет, то есть картину траекторий $x(t), p(t)$, $p=\dot{x}$, на плоскости $x, p$ (см. [4]). Н. у. не только непосредственно описывает многие явления природы, но и лежит в основе многих самостоятельных разделов теоретич. механики и физики.