ОБЛАСТИ СО СЛОЖНОЙ СТРУКТУРОЙ; КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

область математических исследований, имеющая обширные приложения к различным задачам физики, механики, химии и биологии. Физич. процессы в сильно неоднородных средах описываются уравнениями с частными производными с быстро изменяющимися (осциллирующими) коэффициентами либо решениями краевых задач для таких уравнений в нек-рой области с граничными условиями, заданными на границе, к-рая имеет мелкозернистую структуру. Предполагается, что характерные размеры неоднородностей имеют порядок $\varepsilon$ такой, что $\varepsilon \ll L$, где $L-$ характерный размер рассматриваемой области $\Lambda$, а сами неоднородности размещены в $\Lambda$ в соответствии с нек-рым законом (правилом) периодически, квазипериодически, случайно (с нек-рой функцией распределения). Сложная структура области обычно не вносит дополнительных трудностей в доказательства теорем существования и единственности решений таких краевых задач, но, в то же время, нахождение аналитических (и даже численных) точных или приближенных решений таких задач сопряжено с трудностями. Наиболее распространен следующий метод исследования таких задач. Изучается поведение решений исходной краевой задачи при $\varepsilon \rightarrow 0$ и строится так наз. усредненное уравнение (или краевая задача), к-рым удовлетворяют предельные функции. При этом в одних случаях решения исходной краевой задачи заменяются решениями усредненных (то есть более простых - часто с постоянными коэффициентами) дифференциальных уравнений, рассматриваемых во всем пространстве, в других - исходная сложная граница заменяется средней простой поверхностью, на к-рой задаются так наз. усредненные граничные условия. Таким образом, исходная задача сводится фактически к изучению однородных сред (или сред с однородной границей), описываемых так наз. эффективными характеристиками сред со сложной структурой, для нахождения к-рых существуют хорошо разработанные как математические, так и численные методы. Изложенный метод решения краевых задач в О. со с. с. является универсальным и применим к различным процессам, протекающим в средах со сложной структурой: к упругим колебаниям, теплопроводности, диффузии, фильтрации, к задачам электростатики, к распространению электромагнитных волн (напр., к задаче дифракции), излучению и т. п. При этом могут рассматриваться как линейные, так и нелинейные модели, как дифференциальные, так и операторные уравнения, а также краевые задачи различных типов (Дирихле, Неймана и др.). Данный метод может быть строго обоснован и позволяет в ряде случаев оценивать погрешность полученного решения. В ряде случаев (напр., в задачах электростатики, диффузии, фильтрации и др.) можно построить и исследовать решения исходной краевой задачи в виде разложения по степеням малого параметра $\varepsilon / L_{0}\left(L_{0}\right.$ - характерное расстояние между неоднородностями), при этом можно, в принципе, находить такое решение с точностью до $\left(\varepsilon / L_{0}\right)^{n}$, где $n$ - произвольное целое число, и учитывать эффекты, связанные с микроструктурой исследуемой области. Исследование краевых задач в средах со сложной структурой восходит к работам О. Моссотти (О. Mossotti), Дж. Максвелла (J. Maxwell), Дж. Рэлея (J. Rayleigh). Лит.: [1] Maxwell J. C., Treatise on Electricity and Magnetism, v. 1, Oxford, 1873; [2] Rayleigh J.W., «Philos. Mag.», 1892, v. 34, p. 481; [3] Марченко В.А., Хруслов Е.Я., Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Киев, 1974; [4] Санчес-Паленсия Э., Неоднородные среды и теория колебаний, пер. с англ., М., 1984; [5] Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П., Осреднение процессов в периодических средах, М., 1984. П. В. Малышев.

область математических исследований, имеющая обширные приложения к различным задачам физики, механики, химии и биологии. Физич. процессы в сильно неоднородных средах описываются уравнениями с частными производными с быстро изменяющимися (осциллирующими) коэффициентами либо решениями краевых задач для таких уравнений в нек-рой области с граничными условиями, заданными на границе, к-рая имеет мелкозернистую структуру. Предполагается, что характерные размеры неоднородностей имеют порядок $\varepsilon$ такой, что $\varepsilon \ll L$, где $L-$ характерный размер рассматриваемой области $\Lambda$, а сами неоднородности размещены в $\Lambda$ в соответствии с нек-рым законом (правилом) периодически, квазипериодически, случайно (с нек-рой функцией распределения). Сложная структура области обычно не вносит дополнительных трудностей в доказательства теорем существования и единственности решений таких краевых задач, но, в то же время, нахождение аналитических (и даже численных) точных или приближенных решений таких задач сопряжено с трудностями. Наиболее распространен следующий метод исследования таких задач. Изучается поведение решений исходной краевой задачи при $\varepsilon \rightarrow 0$ и строится так наз. усредненное уравнение (или краевая задача), к-рым удовлетворяют предельные функции. При этом в одних случаях решения исходной краевой задачи заменяются решениями усредненных (то есть более простых - часто с постоянными коэффициентами) дифференциальных уравнений, рассматриваемых во всем пространстве, в других - исходная сложная граница заменяется средней простой поверхностью, на к-рой задаются так наз. усредненные граничные условия. Таким образом, исходная задача сводится фактически к изучению однородных сред (или сред с однородной границей), описываемых так наз. эффективными характеристиками сред со сложной структурой, для нахождения к-рых существуют хорошо разработанные как математические, так и численные методы. Изложенный метод решения краевых задач в О. со с. с. является универсальным и применим к различным процессам, протекающим в средах со сложной структурой: к упругим колебаниям, теплопроводности, диффузии, фильтрации, к задачам электростатики, к распространению электромагнитных волн (напр., к задаче дифракции), излучению и т. п. При этом могут рассматриваться как линейные, так и нелинейные модели, как дифференциальные, так и операторные уравнения, а также краевые задачи различных типов (Дирихле, Неймана и др.). Данный метод может быть строго обоснован и позволяет в ряде случаев оценивать погрешность полученного решения. В ряде случаев (напр., в задачах электростатики, диффузии, фильтрации и др.) можно построить и исследовать решения исходной краевой задачи в виде разложения по степеням малого параметра $\varepsilon / L_{0}\left(L_{0}\right.$ - характерное расстояние между неоднородностями), при этом можно, в принципе, находить такое решение с точностью до $\left(\varepsilon / L_{0}\right)^{n}$, где $n$ - произвольное целое число, и учитывать эффекты, связанные с микроструктурой исследуемой области. Исследование краевых задач в средах со сложной структурой восходит к работам О. Моссотти (О. Mossotti), Дж. Максвелла (J. Maxwell), Дж. Рэлея (J. Rayleigh). Лит.: [1] Maxwell J. C., Treatise on Electricity and Magnetism, v. 1, Oxford, 1873; [2] Rayleigh J.W., «Philos. Mag.», 1892, v. 34, p. 481; [3] Марченко В.А., Хруслов Е.Я., Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Киев, 1974; [4] Санчес-Паленсия Э., Неоднородные среды и теория колебаний, пер. с англ., М., 1984; [5] Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П., Осреднение процессов в периодических средах, М., 1984. П. В. Малышев.