ОБМОТКА ТОРА

траектория постоянного уравнения $\dot{\varphi}=\omega$ на $n$-мерном торе $T^{n}$ с угловыми координатами $\varphi \bmod 2 \pi$, где $\varphi=\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right), \omega=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)=$ const $\neq 0$. Иначе говоря, О.т.- это траектория условно периодич. движения на торе, то есть движения, задаваемого постоянным векторным полем. Свойства всех таких траекторий на торе одинаковы и определяются вектором частот $\omega$. Более точно - максимальным числом $r$ линейно независимых целочисленных соотношений \[ (k, \omega)=\sum k_{i} \omega_{i}=0 \] между частотами $\omega_{i}$, где $k=\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right)$ принадлежит решетке $\mathbb{Z}^{n}$ целочисленных векторов. Соотношение $(k, \omega)=0$ называется резонансом, число $|k|=\sum\left|k_{i}\right|$ - порядком резонанса, а $r-$ кратностью резонанса вектора частот $\omega$. Замыкание О. т. является $(n-r)$-мерным тором, совпадающим с $T^{n}$ в случае $r=0$. Так что одна О.т. полностью «обматывает» весь тор $T^{n}$ только в нерезонансном случае, но это общий случай. В случае максимальной кратности резонанса $(r=n-1)$ траектории, напротив, периодичны, а вектор $\omega$ коллинеарен целочисленному: $\omega=c K$, где $K \in \mathbb{Z}^{n} \backslash\{0\}$. Инвариантные торы с условно периодич. движениями возникают в самых различных системах дифференциальных уравнений. Особенно часто они встречаются в гамильтоновых системах, причем, почти исключительно, семействами. Если фазовое пространство сплошь расслоено на такие торы, то систему называют (торически) интегрируемой. В фазовом пространстве гамильтоновой системы в такой ситуации могут быть введены канонич. переменные $I, \varphi \bmod 2 \pi$, в к-рых функция Гамильтона $H$ принимает вид $H=H(I)$ и к-рые называются переменными «действие — угол». Нерезонансная система $\dot{\varphi}=\omega$ является простейшим примером эргодич. динамич. системы: временное среднее функции в силу системы равно пространственному среднему. Свойства вектора $\omega$ определяют свойства не только постоянных систем, но и их возмущений, напр. возмущений интегрируемых систем. В частности, при «включении» возмущения нек-рые нерезонансные торы невозмущенной гамильтоновой системы не исчезают, а лишь слегка деформируются, образуя в фазовом пространстве большое по мере множество (см. KAM-теория). Движение по этим торам, называемым колмогоровскими, будет условно-периодическим, а траектории - нерезонансными О. т. Грубое объяснение этого факта - вышеупомянутая эргодичность невозмущенной системы на торах $I=$ const с нерезонансными частотами \[ \omega(I)=\partial H_{0}(I) / \partial I, \] где $H=H_{0}(I)+\varepsilon H_{1}(I, \varphi), \varepsilon \ll 1,-$ функция Гамильтона системы. Эргодичность позволяет оценить скорость изменения функций на решениях через пространственное среднее по тору скорости изменения этих функций; а пространственное среднее вектор-функции $I=-\partial H / \partial \varphi$, отвечающей за движение поперек слоев - торов $I=$ const, по каждому такому тору равно нулю. В действительности здесь, как и при исследовании других аналогичных случаев, важна не просто обусловленная нерезонансностью эргодичность, то есть неравенство нулю выражений $(k, \omega)$, но и удаленность модулей $|(k, \omega)|$ при $k \in \mathbb{Z}^{n} \backslash\{0\}$ от нуля. Выражения $(k, \omega)$ называются малыми знаменателями.

траектория постоянного уравнения $\dot{\varphi}=\omega$ на $n$-мерном торе $T^{n}$ с угловыми координатами $\varphi \bmod 2 \pi$, где $\varphi=\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right), \omega=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)=$ const $\neq 0$. Иначе говоря, О.т.- это траектория условно периодич. движения на торе, то есть движения, задаваемого постоянным векторным полем. Свойства всех таких траекторий на торе одинаковы и определяются вектором частот $\omega$. Более точно - максимальным числом $r$ линейно независимых целочисленных соотношений \[ (k, \omega)=\sum k_{i} \omega_{i}=0 \] между частотами $\omega_{i}$, где $k=\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right)$ принадлежит решетке $\mathbb{Z}^{n}$ целочисленных векторов. Соотношение $(k, \omega)=0$ называется резонансом, число $|k|=\sum\left|k_{i}\right|$ - порядком резонанса, а $r-$ кратностью резонанса вектора частот $\omega$. Замыкание О. т. является $(n-r)$-мерным тором, совпадающим с $T^{n}$ в случае $r=0$. Так что одна О.т. полностью «обматывает» весь тор $T^{n}$ только в нерезонансном случае, но это общий случай. В случае максимальной кратности резонанса $(r=n-1)$ траектории, напротив, периодичны, а вектор $\omega$ коллинеарен целочисленному: $\omega=c K$, где $K \in \mathbb{Z}^{n} \backslash\{0\}$. Инвариантные торы с условно периодич. движениями возникают в самых различных системах дифференциальных уравнений. Особенно часто они встречаются в гамильтоновых системах, причем, почти исключительно, семействами. Если фазовое пространство сплошь расслоено на такие торы, то систему называют (торически) интегрируемой. В фазовом пространстве гамильтоновой системы в такой ситуации могут быть введены канонич. переменные $I, \varphi \bmod 2 \pi$, в к-рых функция Гамильтона $H$ принимает вид $H=H(I)$ и к-рые называются переменными «действие — угол». Нерезонансная система $\dot{\varphi}=\omega$ является простейшим примером эргодич. динамич. системы: временное среднее функции в силу системы равно пространственному среднему. Свойства вектора $\omega$ определяют свойства не только постоянных систем, но и их возмущений, напр. возмущений интегрируемых систем. В частности, при «включении» возмущения нек-рые нерезонансные торы невозмущенной гамильтоновой системы не исчезают, а лишь слегка деформируются, образуя в фазовом пространстве большое по мере множество (см. KAM-теория). Движение по этим торам, называемым колмогоровскими, будет условно-периодическим, а траектории - нерезонансными О. т. Грубое объяснение этого факта - вышеупомянутая эргодичность невозмущенной системы на торах $I=$ const с нерезонансными частотами \[ \omega(I)=\partial H_{0}(I) / \partial I, \] где $H=H_{0}(I)+\varepsilon H_{1}(I, \varphi), \varepsilon \ll 1,-$ функция Гамильтона системы. Эргодичность позволяет оценить скорость изменения функций на решениях через пространственное среднее по тору скорости изменения этих функций; а пространственное среднее вектор-функции $I=-\partial H / \partial \varphi$, отвечающей за движение поперек слоев - торов $I=$ const, по каждому такому тору равно нулю. В действительности здесь, как и при исследовании других аналогичных случаев, важна не просто обусловленная нерезонансностью эргодичность, то есть неравенство нулю выражений $(k, \omega)$, но и удаленность модулей $|(k, \omega)|$ при $k \in \mathbb{Z}^{n} \backslash\{0\}$ от нуля. Выражения $(k, \omega)$ называются малыми знаменателями.