ОБЩЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ

термин, употребляющийся в оборотах типа: «объекты $O$ в О. п. имеют свойство $S$ (или свойства $\left.S_{i}\right)$ » « $S$ есть свойство О. п.», «приведение в О. п.», точный смысл которых зависит от контекста. Обычно совокупность $\mathscr{O}$ всех рассматриваемых объектов снабжается структурой, позволяющей считать нек-рые подмножества $\Re \subset \mathcal{D}$ «малыми», «пренебрежимыми» или, наоборот, «большими», «массивными»; тогда $S$ считается «свойством O. п.», если обладающие им объекты образуют в $D$ «большое» подмножество. $\mathcal{D}$ обычно имеет одну из следующих структур: а) алгебраич. многообразия, б) дифференцируемого многообразия (возможно, бесконечномерного), в) топологич. пространства, г) пространства с мерой. «Малыми» считаются соответственно: алгебраич. подмногообразия (меньшей размерности), дифференцируемые подмногообразия и конечные или счетные объединения таковых, нигде не плотные множества или множества первой категории, множества меры нуль. Множество $\mathfrak{A} \subset \mathcal{D}$ считается «большим», если дополнение к нему - «малое». Тогда говорят также, что $\mathscr{A}$ содержит «большинство» объектов из $\mathfrak{D}$ или «почти все» эти объекты, а свойство $S$, выполняющееся для почти всех объектов, называется «типичным», или свойством О. п. Нередко говорят о «типичном» объекте, объекте О. п. или объекте, находящемся в О. п., подразумевая (иногда молчаливо), что имеется одно или несколько «типичных» свойств (каких именно - должно быть ясно из контекста) и что речь идет об объекте, обладающем этими свойствами. В более слабом смысле «большое» подмножество в случаях в) и г) может означать подмножество второй категории в непустом открытом подмножестве пространства $D$ или подмножество положительной меры. Тогда говорят, что «этим множеством объектов нельзя пренебрегать» (но уже не говорят о «типичности»). В случаях а) и б) «малое» множество $\mathfrak{A} \subset \mathbb{D}$ имеет положительную коразмерность $\operatorname{codim} \mathfrak{A}$. Естественно считать, что $\mathfrak{\vartheta}$ тем меньше, чем больше codim $\Re$. Близкой к б) (и более общей) является ситуация, когда можно говорить об $n$-параметрич. семействах объектов $O\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)$, достаточно гладко зависящих от $n$ (скалярных) параметров. Если почти все (в смысле в)) эти семейства не содержат объектов из $\mathfrak{A}$, то говорят, что codim $\mathfrak{A}>n$, а если это так при любом $n$, то полагают codim $\mathfrak{A}=\infty$. На объекты могут действовать нек-рые операции $g$; их совокупность $G$ обычно является группой или хотя бы полугруппой с единицей $e$. О «приведении объекта $O$ в О. п. посредством операции g» говорят, когда из контекста ясно, что рассматриваются определенные свойства; «приведение» означает, что $g O$ обладает этими свойствами. Как и $\boldsymbol{D}, G$ обычно снабжается структурой, позволяющей говорить о «большом» множестве операций или о том, что операцию $g$, переводящую $O$ в объект $g O$ с нужными свойствами, можно выбрать сколь угодно близкой к $e$ («приведение в О. п. посредством малого шевеления»). Напр., на плоскости прямая и окружность в О. п. либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках. В данном случае объект есть пара $(a, b)$, где $a$ - прямая, $b$ - окружность, а в качестве операций можно взять евклидовы движения (либо одни только параллельные переносы), действующие на $a$ при фиксированном $b$. Совокупность всевозможных объектов $D$ и группа $G$ естественно снабжаются всеми названными выше структурами, и О. п. можно понимать согласно любому из описанных вариантов. Первоначально об О. п. говорили именно в подобных геометрич. вопросах, поэтому данный термин употребляется в разделах математики, являющихся геометрическими по своему характеру или по крайней мере испытавших значительное геометрич. влияние (хотя соображения, связанные с множествами второй категории или полной меры, используются за их пределами). В алгебраич. геометрии простые примеры (вроде приведенного) легко разбираются с помощью теории исключения, причем основное поле может быть довольно произвольным (обычно алгебраически замкнутым). Имеются теоремы, связанные с О. п. в более сложных ситуациях; при изучении действия алгебраич. группы на алгебраич. многообразии большую роль играют точки О. п. (см. [1]). Лит.: [1] Mumford D., Geometric invariant theory, B.-Hdlb.-N.Y., 1965; [2] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967, приложение III; [3] Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978. Д. В. Аносов.

термин, употребляющийся в оборотах типа: «объекты $O$ в О. п. имеют свойство $S$ (или свойства $\left.S_{i}\right)$ » « $S$ есть свойство О. п.», «приведение в О. п.», точный смысл которых зависит от контекста. Обычно совокупность $\mathscr{O}$ всех рассматриваемых объектов снабжается структурой, позволяющей считать нек-рые подмножества $\Re \subset \mathcal{D}$ «малыми», «пренебрежимыми» или, наоборот, «большими», «массивными»; тогда $S$ считается «свойством O. п.», если обладающие им объекты образуют в $D$ «большое» подмножество. $\mathcal{D}$ обычно имеет одну из следующих структур: а) алгебраич. многообразия, б) дифференцируемого многообразия (возможно, бесконечномерного), в) топологич. пространства, г) пространства с мерой. «Малыми» считаются соответственно: алгебраич. подмногообразия (меньшей размерности), дифференцируемые подмногообразия и конечные или счетные объединения таковых, нигде не плотные множества или множества первой категории, множества меры нуль. Множество $\mathfrak{A} \subset \mathcal{D}$ считается «большим», если дополнение к нему - «малое». Тогда говорят также, что $\mathscr{A}$ содержит «большинство» объектов из $\mathfrak{D}$ или «почти все» эти объекты, а свойство $S$, выполняющееся для почти всех объектов, называется «типичным», или свойством О. п. Нередко говорят о «типичном» объекте, объекте О. п. или объекте, находящемся в О. п., подразумевая (иногда молчаливо), что имеется одно или несколько «типичных» свойств (каких именно - должно быть ясно из контекста) и что речь идет об объекте, обладающем этими свойствами. В более слабом смысле «большое» подмножество в случаях в) и г) может означать подмножество второй категории в непустом открытом подмножестве пространства $D$ или подмножество положительной меры. Тогда говорят, что «этим множеством объектов нельзя пренебрегать» (но уже не говорят о «типичности»). В случаях а) и б) «малое» множество $\mathfrak{A} \subset \mathbb{D}$ имеет положительную коразмерность $\operatorname{codim} \mathfrak{A}$. Естественно считать, что $\mathfrak{\vartheta}$ тем меньше, чем больше codim $\Re$. Близкой к б) (и более общей) является ситуация, когда можно говорить об $n$-параметрич. семействах объектов $O\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)$, достаточно гладко зависящих от $n$ (скалярных) параметров. Если почти все (в смысле в)) эти семейства не содержат объектов из $\mathfrak{A}$, то говорят, что codim $\mathfrak{A}>n$, а если это так при любом $n$, то полагают codim $\mathfrak{A}=\infty$. На объекты могут действовать нек-рые операции $g$; их совокупность $G$ обычно является группой или хотя бы полугруппой с единицей $e$. О «приведении объекта $O$ в О. п. посредством операции g» говорят, когда из контекста ясно, что рассматриваются определенные свойства; «приведение» означает, что $g O$ обладает этими свойствами. Как и $\boldsymbol{D}, G$ обычно снабжается структурой, позволяющей говорить о «большом» множестве операций или о том, что операцию $g$, переводящую $O$ в объект $g O$ с нужными свойствами, можно выбрать сколь угодно близкой к $e$ («приведение в О. п. посредством малого шевеления»). Напр., на плоскости прямая и окружность в О. п. либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках. В данном случае объект есть пара $(a, b)$, где $a$ - прямая, $b$ - окружность, а в качестве операций можно взять евклидовы движения (либо одни только параллельные переносы), действующие на $a$ при фиксированном $b$. Совокупность всевозможных объектов $D$ и группа $G$ естественно снабжаются всеми названными выше структурами, и О. п. можно понимать согласно любому из описанных вариантов. Первоначально об О. п. говорили именно в подобных геометрич. вопросах, поэтому данный термин употребляется в разделах математики, являющихся геометрическими по своему характеру или по крайней мере испытавших значительное геометрич. влияние (хотя соображения, связанные с множествами второй категории или полной меры, используются за их пределами). В алгебраич. геометрии простые примеры (вроде приведенного) легко разбираются с помощью теории исключения, причем основное поле может быть довольно произвольным (обычно алгебраически замкнутым). Имеются теоремы, связанные с О. п. в более сложных ситуациях; при изучении действия алгебраич. группы на алгебраич. многообразии большую роль играют точки О. п. (см. [1]). Лит.: [1] Mumford D., Geometric invariant theory, B.-Hdlb.-N.Y., 1965; [2] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967, приложение III; [3] Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978. Д. В. Аносов.