ОПЕРАТОРНО ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД В ТЕОРИИ СОЛИТОНОВ

метод решения нелинейных эволюционных уравнений, основанный на замене данного уравнения уравнением того же вида относительно функций, принимающих значения в произвольной операторной алгебре. Односолитонные операторнозначные решения этих уравнений находятся элементарно и выражаются через логарифмич. производные операторнозначных решений линейных уравнений. Решения же исходных уравнений получаются из этих операторнозначных односолитонных решений окаймлением их специальными конечномерными проекторами. Произвол в выборе операторных алгебр и окаймляющих проекторов позволяет находить широкие классы решений исходных уравнений. В них входят решения, к-рые находятся обратной задачи рассеяния методом, Римана задачи методом и методами алгебраич. геометрии, а также решения, не сводящиеся к ним. Напр., решения скалярного уравнения \[ u_{t}+6 u_{x}^{2}+u_{x x x}=0 \] получаются в виде: \[ u(x, t) \hat{P}=\hat{P} \hat{\Gamma}^{-1} \hat{\Gamma}_{x} \hat{P} \] где $\hat{\Gamma}$ - операторнозначное решение уравнений \[ \hat{\Gamma}_{t}+4 \hat{\Gamma}_{x x x}=0, \hat{\Gamma}_{x x}=\hat{a}^{2} \hat{\Gamma} \] удовлетворяющее условию \[ \hat{\Gamma}_{x}(I-\hat{P})=\hat{\Gamma} \hat{N}(I-\hat{P}), \] где $\hat{a}, \hat{N}$ - произвольные постоянные операторы и $\hat{P}$ постоянный одномерный проектор.

метод решения нелинейных эволюционных уравнений, основанный на замене данного уравнения уравнением того же вида относительно функций, принимающих значения в произвольной операторной алгебре. Односолитонные операторнозначные решения этих уравнений находятся элементарно и выражаются через логарифмич. производные операторнозначных решений линейных уравнений. Решения же исходных уравнений получаются из этих операторнозначных односолитонных решений окаймлением их специальными конечномерными проекторами. Произвол в выборе операторных алгебр и окаймляющих проекторов позволяет находить широкие классы решений исходных уравнений. В них входят решения, к-рые находятся обратной задачи рассеяния методом, Римана задачи методом и методами алгебраич. геометрии, а также решения, не сводящиеся к ним. Напр., решения скалярного уравнения \[ u_{t}+6 u_{x}^{2}+u_{x x x}=0 \] получаются в виде: \[ u(x, t) \hat{P}=\hat{P} \hat{\Gamma}^{-1} \hat{\Gamma}_{x} \hat{P} \] где $\hat{\Gamma}$ - операторнозначное решение уравнений \[ \hat{\Gamma}_{t}+4 \hat{\Gamma}_{x x x}=0, \hat{\Gamma}_{x x}=\hat{a}^{2} \hat{\Gamma} \] удовлетворяющее условию \[ \hat{\Gamma}_{x}(I-\hat{P})=\hat{\Gamma} \hat{N}(I-\hat{P}), \] где $\hat{a}, \hat{N}$ - произвольные постоянные операторы и $\hat{P}$ постоянный одномерный проектор.