ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

понятие, широко используемое в математическом аппарате квантовой механики и квантовой теории поля. О. служат для сопоставления с определенной волновой функцией (или вектором состояния) $\Psi$ другой определенной функции (вектора) $\Psi^{\prime}$. Соотношение между $\psi$ и $\psi^{\prime}$ записывается в виде $\psi^{\prime}=\hat{L} \psi$, где $\hat{L}-$ О. В квантовой механике физич. величинам $L$ (координате, импульсу, энергии и др.) ставятся в соответствие О. $\hat{L}$ (оператор координаты, импульса и т. д.), действующие на $\psi$. Простейшие виды О., действующие на волновую функцию $\Psi(x)$ (где $x-$ координата частицы),- О. умножения (напр., О. координаты $\hat{x}, \hat{x} \psi=x \psi$ ) и О. дифференцирования (напр., О. $\hat{p}_{x}$ проекции импульса на ось $x, \hat{p}_{x} \psi=-i \hbar \partial \psi / \partial x$ ). Если $\Psi$ - вектор, компоненты к-рого можно представить в виде столбца чисел, то О. представляет собой квадратную матрицу. В квантовой механике в основном используются линейные О., к-рые обладают следующим свойством: если \[ \hat{L} \psi_{1}=\psi_{1}^{\prime} \text { и } \quad \hat{L} \psi_{2}=\psi_{2}^{\prime} \] то \[ \hat{L}\left(c_{1} \Psi_{1}+c_{2} \psi_{2}\right)=c_{1} \psi_{1}^{\prime}+c_{2} \psi_{2}^{\prime} \] где $c_{1}$ и $c_{2}-$ комплексные числа. Свойства О. $\hat{L}$ определяются уравнением \[ \hat{L} \Psi_{n}=\lambda_{n} \Psi_{n} \] где $\lambda_{n}$ - числа. Решения этого уравнения $\psi_{n}$ называются собственными функциями (собственными векторами) О. $\hat{L}$. Собственные волновые функции (собственные векторы состояния) описывают в квантовой механике такие состояния, в к-рых физич. величина $L$ (соответствующая О. $\hat{L})$ имеет определенное значение $\lambda_{n}$. Числа $\lambda_{n}$ называются собственными значениями О. $\hat{L}$, а их совокупность - спектром оператора. Спектр может быть непрерывным или дискретным; в первом случае уравнение, определяющее $\psi_{n}$, имеет решение при любом значении $\lambda_{n}$ (в определенной области), во втором - решения существуют только при определенных дискретных значениях $\lambda_{n}$. Спектр О. может быть и смешанным: частично непрерывным, частично дискретным. Напр., О. координаты и импульса имеют непрерывный спектр, а О. энергии в зависимости от характера действующих в системе сил - непрерывный, дискретный или смешанный спектр. Дискретные собственные значения О. энергии называются уровнями энергии. Собственные функции и собственные значения О. физич. величин должны удовлетворять определенным требованиям. Так как непосредственно измеряемые физич. величины всегда принимают вещественные значения, то соответствующие квантовомеханич. О. должны иметь вещественные собственные значения. Поскольку при измерении физич. величины в любом состоянии $\psi$ должно получаться одно из возможных собственных значений О. этой величины, необходимо, чтобы произвольная волновая функция (вектор состояния) могла быть представлена в виде линейной комбинации собственных функций (векторов) $\psi_{n}$ О. этой физич. величины; другими словами, совокупность собственных функций (векторов) должна представлять полную систему. Этими свойствами обладают собственные функции и собственные значения так наз. самосопряженных, или эрмитовых, $\mathrm{O}$. С О. можно производить алгебраич. действия. В частности, под произведением О. $\hat{L}_{1}$ и $\hat{L}_{2}$ понимается такой О. $\hat{L}=\hat{L}_{1} \hat{L}_{2}$, действие к-рого на $\psi$ дает $\hat{L} \psi=\psi^{\prime \prime}$, если $\hat{L}_{2} \Psi=\psi^{\prime}$ и $\hat{L}_{1} \Psi^{\prime}=\psi^{\prime \prime}$. Произведение О. в общем случае зависит от порядка сомножителей, то есть $\hat{L}_{1} \hat{L}_{2} \neq \hat{L}_{2} \hat{L}_{1}$. Этим алгебра О. отличается от обычной алгебры чисел. Возможность перестановки порядка сомножителей в произведении двух $\mathrm{O}$. тесно связана с возможностью физич. системы находиться в состоянии, в к-ром соответствующие О. физич. величины имеют точно определенные значения (или с возможностью одновременного измерения физич. величин, к-рым отвечают эти О.). Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости физич. величин $L_{1}$ и $L_{2}$ является равенство $\hat{L}_{1} \hat{L}_{2}=\hat{L}_{2} \hat{L}_{1}$ (см. Перестановочные соотношения). Уравнения квантовой механики могут быть формально записаны точно в том же виде, что и уравнения классич. механики (гейзенберговское представление в квантовой механике), если заменить физич. величины, входящие в уравнения классич. механики, соответствующими им О. Различие между квантовой и классич. механикой сведется тогда к различию алгебр. Поэтому О. в квантовой механике иногда называют $q-ч$ислами, в отличие от $c-ч$исел, то есть обыкновенных чисел, с к-рыми имеет дело классич. механика. О. можно также возводить в степень, образовывать из них ряды и рассматривать функции от О. Произведение эрмитовых О. в общем случае не является эрмитовым. В квантовой механике используются и неэрмитовы О., важным классом к-рых являются унитарные операторы, не меняющие норм (длин) векторов и углов между ними. Неизменность нормы вектора состояния дает возможность интерпретации его компонент как амплитуд вероятности и исходной и преобразованной функции. Поэтому действием унитарного О. описывается изменение квантовомеханич. системы с течением времени, а также ее смещение как целого в пространстве, поворот, зеркальное отражение и др. Выполняемые унитарными О. преобразования (унитарные преобразования) играют в квантовой механике такую же роль, какую в классич. механике играют канонич. преобразования. В квантовой механике применяется также О. комплексного сопряжения, не являющийся линейным. Произведение такого О. на унитарный О. называется антиунитарным оператором. Антиунитарные О. описывают преобразование обращения времени и некоторые др. В теории квантовых систем, состоящих из тождественных частиц, широко применяется метод вторичного квантования. В нем рассматриваются состояния с переменным числом частиц и вводятся О., действие к-рых на вектор состояния с данным числом частиц приводит к вектору состояния с измененным на единицу числом частиц (О. рождения и уничтожения частиц). О. рождения или уничтожения частицы в данной точке $x, \hat{\psi}(x)$, формально подобен волновой функции $\psi(x)$, как $q$ - и $c$-числа, отвечающие одной и той же физич. величине соответственно в квантовой и классич. механике. Такие О. образуют квантованные поля, играющие фундаментальную роль в релятивистских квантовых теориях (квантовой электродинамике, теории элементарных частиц). В. Б. Берестецкий.

понятие, широко используемое в математическом аппарате квантовой механики и квантовой теории поля. О. служат для сопоставления с определенной волновой функцией (или вектором состояния) $\Psi$ другой определенной функции (вектора) $\Psi^{\prime}$. Соотношение между $\psi$ и $\psi^{\prime}$ записывается в виде $\psi^{\prime}=\hat{L} \psi$, где $\hat{L}-$ О. В квантовой механике физич. величинам $L$ (координате, импульсу, энергии и др.) ставятся в соответствие О. $\hat{L}$ (оператор координаты, импульса и т. д.), действующие на $\psi$. Простейшие виды О., действующие на волновую функцию $\Psi(x)$ (где $x-$ координата частицы),- О. умножения (напр., О. координаты $\hat{x}, \hat{x} \psi=x \psi$ ) и О. дифференцирования (напр., О. $\hat{p}_{x}$ проекции импульса на ось $x, \hat{p}_{x} \psi=-i \hbar \partial \psi / \partial x$ ). Если $\Psi$ - вектор, компоненты к-рого можно представить в виде столбца чисел, то О. представляет собой квадратную матрицу. В квантовой механике в основном используются линейные О., к-рые обладают следующим свойством: если \[ \hat{L} \psi_{1}=\psi_{1}^{\prime} \text { и } \quad \hat{L} \psi_{2}=\psi_{2}^{\prime} \] то \[ \hat{L}\left(c_{1} \Psi_{1}+c_{2} \psi_{2}\right)=c_{1} \psi_{1}^{\prime}+c_{2} \psi_{2}^{\prime} \] где $c_{1}$ и $c_{2}-$ комплексные числа. Свойства О. $\hat{L}$ определяются уравнением \[ \hat{L} \Psi_{n}=\lambda_{n} \Psi_{n} \] где $\lambda_{n}$ - числа. Решения этого уравнения $\psi_{n}$ называются собственными функциями (собственными векторами) О. $\hat{L}$. Собственные волновые функции (собственные векторы состояния) описывают в квантовой механике такие состояния, в к-рых физич. величина $L$ (соответствующая О. $\hat{L})$ имеет определенное значение $\lambda_{n}$. Числа $\lambda_{n}$ называются собственными значениями О. $\hat{L}$, а их совокупность - спектром оператора. Спектр может быть непрерывным или дискретным; в первом случае уравнение, определяющее $\psi_{n}$, имеет решение при любом значении $\lambda_{n}$ (в определенной области), во втором - решения существуют только при определенных дискретных значениях $\lambda_{n}$. Спектр О. может быть и смешанным: частично непрерывным, частично дискретным. Напр., О. координаты и импульса имеют непрерывный спектр, а О. энергии в зависимости от характера действующих в системе сил - непрерывный, дискретный или смешанный спектр. Дискретные собственные значения О. энергии называются уровнями энергии. Собственные функции и собственные значения О. физич. величин должны удовлетворять определенным требованиям. Так как непосредственно измеряемые физич. величины всегда принимают вещественные значения, то соответствующие квантовомеханич. О. должны иметь вещественные собственные значения. Поскольку при измерении физич. величины в любом состоянии $\psi$ должно получаться одно из возможных собственных значений О. этой величины, необходимо, чтобы произвольная волновая функция (вектор состояния) могла быть представлена в виде линейной комбинации собственных функций (векторов) $\psi_{n}$ О. этой физич. величины; другими словами, совокупность собственных функций (векторов) должна представлять полную систему. Этими свойствами обладают собственные функции и собственные значения так наз. самосопряженных, или эрмитовых, $\mathrm{O}$. С О. можно производить алгебраич. действия. В частности, под произведением О. $\hat{L}_{1}$ и $\hat{L}_{2}$ понимается такой О. $\hat{L}=\hat{L}_{1} \hat{L}_{2}$, действие к-рого на $\psi$ дает $\hat{L} \psi=\psi^{\prime \prime}$, если $\hat{L}_{2} \Psi=\psi^{\prime}$ и $\hat{L}_{1} \Psi^{\prime}=\psi^{\prime \prime}$. Произведение О. в общем случае зависит от порядка сомножителей, то есть $\hat{L}_{1} \hat{L}_{2} \neq \hat{L}_{2} \hat{L}_{1}$. Этим алгебра О. отличается от обычной алгебры чисел. Возможность перестановки порядка сомножителей в произведении двух $\mathrm{O}$. тесно связана с возможностью физич. системы находиться в состоянии, в к-ром соответствующие О. физич. величины имеют точно определенные значения (или с возможностью одновременного измерения физич. величин, к-рым отвечают эти О.). Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости физич. величин $L_{1}$ и $L_{2}$ является равенство $\hat{L}_{1} \hat{L}_{2}=\hat{L}_{2} \hat{L}_{1}$ (см. Перестановочные соотношения). Уравнения квантовой механики могут быть формально записаны точно в том же виде, что и уравнения классич. механики (гейзенберговское представление в квантовой механике), если заменить физич. величины, входящие в уравнения классич. механики, соответствующими им О. Различие между квантовой и классич. механикой сведется тогда к различию алгебр. Поэтому О. в квантовой механике иногда называют $q-ч$ислами, в отличие от $c-ч$исел, то есть обыкновенных чисел, с к-рыми имеет дело классич. механика. О. можно также возводить в степень, образовывать из них ряды и рассматривать функции от О. Произведение эрмитовых О. в общем случае не является эрмитовым. В квантовой механике используются и неэрмитовы О., важным классом к-рых являются унитарные операторы, не меняющие норм (длин) векторов и углов между ними. Неизменность нормы вектора состояния дает возможность интерпретации его компонент как амплитуд вероятности и исходной и преобразованной функции. Поэтому действием унитарного О. описывается изменение квантовомеханич. системы с течением времени, а также ее смещение как целого в пространстве, поворот, зеркальное отражение и др. Выполняемые унитарными О. преобразования (унитарные преобразования) играют в квантовой механике такую же роль, какую в классич. механике играют канонич. преобразования. В квантовой механике применяется также О. комплексного сопряжения, не являющийся линейным. Произведение такого О. на унитарный О. называется антиунитарным оператором. Антиунитарные О. описывают преобразование обращения времени и некоторые др. В теории квантовых систем, состоящих из тождественных частиц, широко применяется метод вторичного квантования. В нем рассматриваются состояния с переменным числом частиц и вводятся О., действие к-рых на вектор состояния с данным числом частиц приводит к вектору состояния с измененным на единицу числом частиц (О. рождения и уничтожения частиц). О. рождения или уничтожения частицы в данной точке $x, \hat{\psi}(x)$, формально подобен волновой функции $\psi(x)$, как $q$ - и $c$-числа, отвечающие одной и той же физич. величине соответственно в квантовой и классич. механике. Такие О. образуют квантованные поля, играющие фундаментальную роль в релятивистских квантовых теориях (квантовой электродинамике, теории элементарных частиц). В. Б. Берестецкий.