БЛОХА ТЕОРЕМА

фундаментальная теорема квантовой теории твердого тела, устанавливающая вид волновой функции электрона, находящегося в поле с периодическим потенциалом $U$, в частности в кристаллической решетке. Сформулирована Ф. Блохом (F. Bloch) в 1929. Б. т. утверждает, что если потенциал $U(\boldsymbol{r})(\boldsymbol{r}-$ пространственная координата) - функция с периодом $\boldsymbol{a}$ кристаллич. решетки: $U(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{a})=U(\boldsymbol{r})$, где $\boldsymbol{a}=n_{1} \boldsymbol{a}_{1}+n_{2} \boldsymbol{a}_{2}+n_{3} \boldsymbol{a}_{3} ; \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}$ - основные (базисные) векторы решетки; $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ - целые числа, то решения $\psi(\boldsymbol{r})$ одноэлектронного Шредингера уравнения (адиабатическое приближение) \[ \hat{H} \psi(\boldsymbol{r}) \equiv\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+U(\boldsymbol{r})\right] \psi(\boldsymbol{r})=\mathscr{E} \psi(\boldsymbol{r}) \] ( $\mathscr{E}$ - энергия частицы) имеют вид: \[ \psi_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})=e^{i k r_{k}(\boldsymbol{r}) .} \] Здесь $\boldsymbol{k}$ - волновой вектор, характеризующий состояние электрона, $u_{k}-$ периодич. функция с периодом решетки, $m$ - масса электрона. Б. т. является следствием трансляционной инвариантности кристаллич. решетки. Если $\psi(\boldsymbol{r})-$ решение уравнения (1), соответствующее стационарному состоянию электрона с энергией $\mathscr{E}$, то $\psi(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{a})$ также является его решением, причем $\psi(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{a})=C_{a} \psi(\boldsymbol{r})$, где $C_{a}= \pm 1$. Если стационарному состоянию с энергией $\mathscr{E}$ соответствует несколько различных волновых функций $\psi(\boldsymbol{r})$ (то есть состояние с энергией $\mathscr{E}$ - вырожденное), то волновая функция $\psi(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{a})$ является линейной комбинацией всех собственных функций $\psi(\boldsymbol{r})$, отвечающих вырожденному уровню $\mathscr{E}$. В этом случае $C_{\boldsymbol{a}}=e^{i \boldsymbol{k} a}$. Таким образом, в случае вырождения имеем: \[ \psi(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{a})=e^{i k a} \psi(\boldsymbol{r}) . \] Функции, удовлетворяющие условию (3) (условию Блоха), называются функциями Блоха. Подставляя (2) в уравнение Шредингера (1), получим уравнение для $u_{k}(\boldsymbol{r})$: \[ \left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}(i \nabla+\boldsymbol{k})^{2}+U(\boldsymbol{r})\right] u_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})=\mathscr{E}_{\boldsymbol{k}} U(\boldsymbol{r}), \] которое имеет бесконечный ряд решений $u_{s k}(\boldsymbol{r})$. Индекс $s$ нумерует решения при заданном $\boldsymbol{k}$. Волновым функциям (2) при заданном $\boldsymbol{k}$, таким образом, соответствуют дискретные значения энергии: $\varepsilon=\mathscr{E}_{s}(\boldsymbol{k}), s=1,2, \ldots$ Индекс $s-$ номер энергетич. зоны; зависимость $\mathscr{E}_{S}$ от $\boldsymbol{k}$ при фиксированном $s$ называется Блоха законом дисперсии частицы в $s$-й зоне.

фундаментальная теорема квантовой теории твердого тела, устанавливающая вид волновой функции электрона, находящегося в поле с периодическим потенциалом $U$, в частности в кристаллической решетке. Сформулирована Ф. Блохом (F. Bloch) в 1929. Б. т. утверждает, что если потенциал $U(\boldsymbol{r})(\boldsymbol{r}-$ пространственная координата) - функция с периодом $\boldsymbol{a}$ кристаллич. решетки: $U(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{a})=U(\boldsymbol{r})$, где $\boldsymbol{a}=n_{1} \boldsymbol{a}_{1}+n_{2} \boldsymbol{a}_{2}+n_{3} \boldsymbol{a}_{3} ; \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}$ - основные (базисные) векторы решетки; $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ - целые числа, то решения $\psi(\boldsymbol{r})$ одноэлектронного Шредингера уравнения (адиабатическое приближение) \[ \hat{H} \psi(\boldsymbol{r}) \equiv\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+U(\boldsymbol{r})\right] \psi(\boldsymbol{r})=\mathscr{E} \psi(\boldsymbol{r}) \] ( $\mathscr{E}$ - энергия частицы) имеют вид: \[ \psi_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})=e^{i k r_{k}(\boldsymbol{r}) .} \] Здесь $\boldsymbol{k}$ - волновой вектор, характеризующий состояние электрона, $u_{k}-$ периодич. функция с периодом решетки, $m$ - масса электрона. Б. т. является следствием трансляционной инвариантности кристаллич. решетки. Если $\psi(\boldsymbol{r})-$ решение уравнения (1), соответствующее стационарному состоянию электрона с энергией $\mathscr{E}$, то $\psi(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{a})$ также является его решением, причем $\psi(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{a})=C_{a} \psi(\boldsymbol{r})$, где $C_{a}= \pm 1$. Если стационарному состоянию с энергией $\mathscr{E}$ соответствует несколько различных волновых функций $\psi(\boldsymbol{r})$ (то есть состояние с энергией $\mathscr{E}$ - вырожденное), то волновая функция $\psi(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{a})$ является линейной комбинацией всех собственных функций $\psi(\boldsymbol{r})$, отвечающих вырожденному уровню $\mathscr{E}$. В этом случае $C_{\boldsymbol{a}}=e^{i \boldsymbol{k} a}$. Таким образом, в случае вырождения имеем: \[ \psi(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{a})=e^{i k a} \psi(\boldsymbol{r}) . \] Функции, удовлетворяющие условию (3) (условию Блоха), называются функциями Блоха. Подставляя (2) в уравнение Шредингера (1), получим уравнение для $u_{k}(\boldsymbol{r})$: \[ \left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}(i \nabla+\boldsymbol{k})^{2}+U(\boldsymbol{r})\right] u_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})=\mathscr{E}_{\boldsymbol{k}} U(\boldsymbol{r}), \] которое имеет бесконечный ряд решений $u_{s k}(\boldsymbol{r})$. Индекс $s$ нумерует решения при заданном $\boldsymbol{k}$. Волновым функциям (2) при заданном $\boldsymbol{k}$, таким образом, соответствуют дискретные значения энергии: $\varepsilon=\mathscr{E}_{s}(\boldsymbol{k}), s=1,2, \ldots$ Индекс $s-$ номер энергетич. зоны; зависимость $\mathscr{E}_{S}$ от $\boldsymbol{k}$ при фиксированном $s$ называется Блоха законом дисперсии частицы в $s$-й зоне.