ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ

аналог понятия Гиббса распределения для предельного случая нулевой температуры. Поскольку распределение Гиббса в конечном объеме $\Lambda \subset T$ для решетчатой системы с обратной температурой $\beta$ задается как \[ p_{\Lambda}^{\beta}\left(x_{t}, t \in \Lambda\right)=\frac{\exp \left\{-\beta H_{\Lambda}\left(x_{t}, t \in \Lambda\right)\right\}}{Z_{\Lambda}^{\beta}}, \] где $H_{\Lambda}$ - гамильтониан системы и $Z_{\Lambda}^{\beta}$ - статистич. сумма, то пределом $p_{\Lambda}$ при $\beta \rightarrow \infty$ распределения $p_{\Lambda}^{\beta}$ является равномерное распределение, сосредоточенное на множестве конфигураций $\left(x_{t}, t \in \Lambda\right)$, для к-рых гамильтониан $H_{\Lambda}$ принимает минимальное значение. Это подсказывает следующее определение, применимое к случайному полю Гиббса на всем бесконечном множестве индексов $T$. Фиксировав потенциал $U$ решетчатой системы для любого конечного $\Lambda \subset T$, обозначим через $\varepsilon_{\Lambda}\left(x_{T \backslash \Lambda}\right)$ совокупность конфигураций $x_{\Lambda}$ в $\Lambda$ таких, что при фиксированном значении $x_{T} \backslash \Lambda$ конфигурации в $T \backslash \Lambda$ условный гамильтониан $H\left(x_{\Lambda} \mid x_{T} \backslash \Lambda_{\Lambda}\right)$ принимает минимальное значение. Случайное поле $\left(X_{t}, t \in T\right)$ называется основным состоянием для потенциала $U$, если при любом конечном $\Lambda \subset T$ почти всюду условное распределение для $\left\{X_{t}, t \in \Lambda\right\}$ при заданном значении конфигурации $\left(X_{t}, t \in T \backslash \Lambda\right)$ вне $\Lambda$ является равномерным распределением на множестве $\varepsilon_{\Lambda}\left[\left(X_{t}, t \in T \backslash \Lambda\right)\right]$. Если О. с. сосредоточено на одной конфигурации $\left(x_{t}, t \in \Lambda\right)$, то эта конфигурация называется основной. Эквивалентно, конфигурация $\left(x_{t}, t \in \Lambda\right)$ называется основной, если при любом конечном $\Lambda$ множество $\varepsilon_{\Lambda}\left[\left(x_{t}, t \in T \backslash \Lambda\right)\right]$ состоит из единственной конфигурации $\left(x_{t}, t \in \Lambda\right)$. Оправданием этому определению служит тот легко доказываемый факт, что если $P^{\beta}$ - распределение вероятностей гиббсовского случайного поля с обратной температурой $\beta$ и потенциалом $U$, то любая предельная при $\beta \rightarrow \infty$ (в смысле слабой сходимости) точка семейства распределений $\mathrm{P}^{\beta}$ является О. с. Обратная к этой теореме, вообще говоря, не верна. Исследование совокупности О.с. для многих конкретных ситуаций (напр., для Изинга модели и Гейзенберга модели) является существенно более простой задачей, чем исследование совокупности гиббсовских состояний. Поэтому важное в теории фазовых переходов место занимает выделение О.с., для к-рых есть семейство сходящихся к ним при $\beta \rightarrow \infty$ гиббсовских состояний. Наиболее общий из результатов такого рода - Пирогова - Синая теорема.

аналог понятия Гиббса распределения для предельного случая нулевой температуры. Поскольку распределение Гиббса в конечном объеме $\Lambda \subset T$ для решетчатой системы с обратной температурой $\beta$ задается как \[ p_{\Lambda}^{\beta}\left(x_{t}, t \in \Lambda\right)=\frac{\exp \left\{-\beta H_{\Lambda}\left(x_{t}, t \in \Lambda\right)\right\}}{Z_{\Lambda}^{\beta}}, \] где $H_{\Lambda}$ - гамильтониан системы и $Z_{\Lambda}^{\beta}$ - статистич. сумма, то пределом $p_{\Lambda}$ при $\beta \rightarrow \infty$ распределения $p_{\Lambda}^{\beta}$ является равномерное распределение, сосредоточенное на множестве конфигураций $\left(x_{t}, t \in \Lambda\right)$, для к-рых гамильтониан $H_{\Lambda}$ принимает минимальное значение. Это подсказывает следующее определение, применимое к случайному полю Гиббса на всем бесконечном множестве индексов $T$. Фиксировав потенциал $U$ решетчатой системы для любого конечного $\Lambda \subset T$, обозначим через $\varepsilon_{\Lambda}\left(x_{T \backslash \Lambda}\right)$ совокупность конфигураций $x_{\Lambda}$ в $\Lambda$ таких, что при фиксированном значении $x_{T} \backslash \Lambda$ конфигурации в $T \backslash \Lambda$ условный гамильтониан $H\left(x_{\Lambda} \mid x_{T} \backslash \Lambda_{\Lambda}\right)$ принимает минимальное значение. Случайное поле $\left(X_{t}, t \in T\right)$ называется основным состоянием для потенциала $U$, если при любом конечном $\Lambda \subset T$ почти всюду условное распределение для $\left\{X_{t}, t \in \Lambda\right\}$ при заданном значении конфигурации $\left(X_{t}, t \in T \backslash \Lambda\right)$ вне $\Lambda$ является равномерным распределением на множестве $\varepsilon_{\Lambda}\left[\left(X_{t}, t \in T \backslash \Lambda\right)\right]$. Если О. с. сосредоточено на одной конфигурации $\left(x_{t}, t \in \Lambda\right)$, то эта конфигурация называется основной. Эквивалентно, конфигурация $\left(x_{t}, t \in \Lambda\right)$ называется основной, если при любом конечном $\Lambda$ множество $\varepsilon_{\Lambda}\left[\left(x_{t}, t \in T \backslash \Lambda\right)\right]$ состоит из единственной конфигурации $\left(x_{t}, t \in \Lambda\right)$. Оправданием этому определению служит тот легко доказываемый факт, что если $P^{\beta}$ - распределение вероятностей гиббсовского случайного поля с обратной температурой $\beta$ и потенциалом $U$, то любая предельная при $\beta \rightarrow \infty$ (в смысле слабой сходимости) точка семейства распределений $\mathrm{P}^{\beta}$ является О. с. Обратная к этой теореме, вообще говоря, не верна. Исследование совокупности О.с. для многих конкретных ситуаций (напр., для Изинга модели и Гейзенберга модели) является существенно более простой задачей, чем исследование совокупности гиббсовских состояний. Поэтому важное в теории фазовых переходов место занимает выделение О.с., для к-рых есть семейство сходящихся к ним при $\beta \rightarrow \infty$ гиббсовских состояний. Наиболее общий из результатов такого рода - Пирогова - Синая теорема.