ОСЦИЛЛЯЦИЙ ШЛЕЙФ

область, возникающая в результате распространения возмущений от точечных источников в средах с дисперсией. Типичными примерами являются среды, описываемые разностными, дифференциально-разностными или псевдодифференциальными уравнениями с малым параметром. Математич. описание этого явления на примере уравнения кристалла (см. Разностные уравнения; асимптотика решения) \[ \begin{gathered} h^{2} u_{t t}+L\left(x,-i h \partial / \partial_{x}\right) u=0, \\ L(x, p)=4 c^{2}(x) \sin ^{2} p / 2, x \in \mathbb{R}^{1},-\pi \leqslant p \leqslant \pi, \end{gathered} \] $h$ - малый параметр, заключается в том, что областью осцилляций решения задачи Коши для этого уравнения с начальными условиями $\left.u\right|_{t=0}=h^{-1 / 2} \delta_{h}\left(x-x^{0}\right),\left.u_{t}\right|_{t=0}=0$ в момент времени $t$ является множество $\left\{x=X^{ \pm}\left(x^{0}, t, \omega\right)\right.$, $-\pi \leqslant \omega \leqslant \pi\}$, где $X^{ \pm}\left(x^{0}, t, \omega\right), P^{ \pm}\left(x^{0}, t, \omega\right)$ - решение гамильтоновой системы $\dot{x}=\partial H_{\omega}^{ \pm} / \partial p, \dot{p}=-\partial H_{\omega}^{ \pm} / \partial x$, удовлетворяющее начальным данным $\left.X^{ \pm}\right|_{t=0}=x^{0},\left.P^{ \pm}\right|_{t=0}=1$. Область осцилляций функции $\psi_{h}(x) \in L_{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ определяется как дополнение к множеству точек таких, что в их окрестности $\psi_{h} \in L_{2}$ и $\partial \psi_{h} / \partial x_{i} \in L_{2}, i=1, \ldots, n$, равномерно по $h$. В том случае, когда $\psi_{h}=K \varphi$, где $K-$ Маслова канонический оператор на лагранжевом многообразии $\Lambda \subset \mathbb{R}_{x}^{n} \times \mathbb{R}_{p}^{n}$, область осцилляций совпадает с проекцией осцилляций фронта на конфигурационное пространство $\mathbb{R}_{x}^{n}$. В указанном примере область осцилляций начального данного - точка $x^{0}$, а область осцилляций решения в момент времени $t$ - нек-рый отрезок прямой $\mathbb{R}^{1}$. См. также Черенкова эффект в разностных уравнениях.

область, возникающая в результате распространения возмущений от точечных источников в средах с дисперсией. Типичными примерами являются среды, описываемые разностными, дифференциально-разностными или псевдодифференциальными уравнениями с малым параметром. Математич. описание этого явления на примере уравнения кристалла (см. Разностные уравнения; асимптотика решения) \[ \begin{gathered} h^{2} u_{t t}+L\left(x,-i h \partial / \partial_{x}\right) u=0, \\ L(x, p)=4 c^{2}(x) \sin ^{2} p / 2, x \in \mathbb{R}^{1},-\pi \leqslant p \leqslant \pi, \end{gathered} \] $h$ - малый параметр, заключается в том, что областью осцилляций решения задачи Коши для этого уравнения с начальными условиями $\left.u\right|_{t=0}=h^{-1 / 2} \delta_{h}\left(x-x^{0}\right),\left.u_{t}\right|_{t=0}=0$ в момент времени $t$ является множество $\left\{x=X^{ \pm}\left(x^{0}, t, \omega\right)\right.$, $-\pi \leqslant \omega \leqslant \pi\}$, где $X^{ \pm}\left(x^{0}, t, \omega\right), P^{ \pm}\left(x^{0}, t, \omega\right)$ - решение гамильтоновой системы $\dot{x}=\partial H_{\omega}^{ \pm} / \partial p, \dot{p}=-\partial H_{\omega}^{ \pm} / \partial x$, удовлетворяющее начальным данным $\left.X^{ \pm}\right|_{t=0}=x^{0},\left.P^{ \pm}\right|_{t=0}=1$. Область осцилляций функции $\psi_{h}(x) \in L_{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ определяется как дополнение к множеству точек таких, что в их окрестности $\psi_{h} \in L_{2}$ и $\partial \psi_{h} / \partial x_{i} \in L_{2}, i=1, \ldots, n$, равномерно по $h$. В том случае, когда $\psi_{h}=K \varphi$, где $K-$ Маслова канонический оператор на лагранжевом многообразии $\Lambda \subset \mathbb{R}_{x}^{n} \times \mathbb{R}_{p}^{n}$, область осцилляций совпадает с проекцией осцилляций фронта на конфигурационное пространство $\mathbb{R}_{x}^{n}$. В указанном примере область осцилляций начального данного - точка $x^{0}$, а область осцилляций решения в момент времени $t$ - нек-рый отрезок прямой $\mathbb{R}^{1}$. См. также Черенкова эффект в разностных уравнениях.