ПАУЛИ МАТРИЦЫ

двухрядные комплексные эрмитовы матрицы \[ \sigma_{1}=\left\|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right\|, \quad \sigma_{2}=\left\|\begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right\|, \quad \sigma_{3}=\left\|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right\| . \] Введены В. Паули (W. Pauli, 1927) для описания собственного механич. момента (спина) $s=1 / 2 \hbar \sigma$ и магнитного момента $\mu=(e \hbar / 2 m c) \sigma$ электрона (см. Паули уравнение). Благодаря перестановочным соотношениям \[ \sigma_{i} \sigma_{k}-\sigma_{k} \sigma_{i}=2 \varepsilon_{i k l} \sigma_{l} \] (где $\varepsilon_{i k l}$ - Леви-Чивиты символ) компоненты спина s удовлетворяют перестановочным соотношениям для углового момента. При повороте на угол $\varphi$ вокруг оси с направляющим единичным вектором $n\left(n_{1}, n_{2}, n_{3}\right)$ задающий волновую функцию электрона двухкомпонентный спинор $\psi=\left\|\begin{array}{l}\Psi_{1} \\ \Psi_{2}\end{array}\right\|$ преобразуется по формуле \[ \psi \rightarrow \psi^{\prime}=\exp \left(-\frac{i \varphi}{2} n \sigma\right) \psi \] реализуя простейшее спинорное представление группы вращений $S O(3)$. В качестве базиса в пространстве этого представления можно взять, напр., собственные векторы матрицы $\sigma_{3},\|1\| 0 \|$ и $\left\|\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right\|$ с собственными значениями 1 и -1 соответственно. П. м. используются при описании любой квантовой системы с дискретной переменной, принимающей два значения. Помимо спина классич. примером является система протон - нейтрон; ее дискретную переменную называют 3-й компонентой изотопич. спина (обычно П. м. обозначаются в этом случае символами $\left.\tau_{i}, i=1,2\right)$. Поскольку $S O(3)$ локально изоморфна группе унитарных унимодулярных комплексных матриц [точнее, $S O(3) \sim S O(2) / Z_{2}$ ], в терминах П.м. описываются калибровочные поля с унитарной симметрией $S U(2)$. П. м. используются также в многочисленных моделях квантовых систем на решетках (различные варианты модели Изинга и т. п.).

двухрядные комплексные эрмитовы матрицы \[ \sigma_{1}=\left\|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right\|, \quad \sigma_{2}=\left\|\begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right\|, \quad \sigma_{3}=\left\|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right\| . \] Введены В. Паули (W. Pauli, 1927) для описания собственного механич. момента (спина) $s=1 / 2 \hbar \sigma$ и магнитного момента $\mu=(e \hbar / 2 m c) \sigma$ электрона (см. Паули уравнение). Благодаря перестановочным соотношениям \[ \sigma_{i} \sigma_{k}-\sigma_{k} \sigma_{i}=2 \varepsilon_{i k l} \sigma_{l} \] (где $\varepsilon_{i k l}$ - Леви-Чивиты символ) компоненты спина s удовлетворяют перестановочным соотношениям для углового момента. При повороте на угол $\varphi$ вокруг оси с направляющим единичным вектором $n\left(n_{1}, n_{2}, n_{3}\right)$ задающий волновую функцию электрона двухкомпонентный спинор $\psi=\left\|\begin{array}{l}\Psi_{1} \\ \Psi_{2}\end{array}\right\|$ преобразуется по формуле \[ \psi \rightarrow \psi^{\prime}=\exp \left(-\frac{i \varphi}{2} n \sigma\right) \psi \] реализуя простейшее спинорное представление группы вращений $S O(3)$. В качестве базиса в пространстве этого представления можно взять, напр., собственные векторы матрицы $\sigma_{3},\|1\| 0 \|$ и $\left\|\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right\|$ с собственными значениями 1 и -1 соответственно. П. м. используются при описании любой квантовой системы с дискретной переменной, принимающей два значения. Помимо спина классич. примером является система протон - нейтрон; ее дискретную переменную называют 3-й компонентой изотопич. спина (обычно П. м. обозначаются в этом случае символами $\left.\tau_{i}, i=1,2\right)$. Поскольку $S O(3)$ локально изоморфна группе унитарных унимодулярных комплексных матриц [точнее, $S O(3) \sim S O(2) / Z_{2}$ ], в терминах П.м. описываются калибровочные поля с унитарной симметрией $S U(2)$. П. м. используются также в многочисленных моделях квантовых систем на решетках (различные варианты модели Изинга и т. п.).