ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ $M^{k}$ В $n$-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ $\mathbb{R}^{n}$, РАДИУС-ВЕКТОР ТЕКУЩЕЙ ТОЧКИ КОТОРОЙ ЗАДАН ПАРАМЕТРИЧЕСКИ $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(u^{1}, \ldots\right.$, $\left.u^{k}\right)$

форма вида \[ (d \boldsymbol{r}, d \boldsymbol{r})=g_{a b} d u^{a} d u^{b} \] то есть \[ g_{a b}=\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^{a}}, \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^{b}}\right) \text {. } \] В инвариантной форме П. к. Ф. в точке $m \in M^{k}-$ это ограничение евклидовой метрики $d s^{2}=d x_{1}^{2}+\ldots+d x_{n}^{2}$ на касательное пространство $T_{m} M^{k}$. В случае когда $n=3$, часто используют классич. обозначения \[ E=g_{11}, F=g_{12}, G=g_{22} \text {. } \] Коэффициенты $g_{i j}$ образуют тензор, называемый метрическим тензором. См. также Риманова геометрия. В. В. Трофимов.

форма вида \[ (d \boldsymbol{r}, d \boldsymbol{r})=g_{a b} d u^{a} d u^{b} \] то есть \[ g_{a b}=\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^{a}}, \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^{b}}\right) \text {. } \] В инвариантной форме П. к. Ф. в точке $m \in M^{k}-$ это ограничение евклидовой метрики $d s^{2}=d x_{1}^{2}+\ldots+d x_{n}^{2}$ на касательное пространство $T_{m} M^{k}$. В случае когда $n=3$, часто используют классич. обозначения \[ E=g_{11}, F=g_{12}, G=g_{22} \text {. } \] Коэффициенты $g_{i j}$ образуют тензор, называемый метрическим тензором. См. также Риманова геометрия. В. В. Трофимов.