ПЕРЕСТАНОВОЧНЫХ СООТНОШЕНИЙ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕЭКВИВАЛЕНТНЫЕ

представления, наличие которых является характерной особенностью квантовых систем с бесконечным числом степеней свободы. Два представления перестановочных соотношений операторами $R_{\lambda}^{(i)}, i=1,2$, в гильбертовых пространствах $H^{(i)}$ называются неэквивалентными представлениями перестановочных соотношений, если не существует изометрич. отображения $W: H^{(1)} \neg H^{(2)}$ такого, что \[ R_{\lambda}^{(2)}=W R_{\lambda}^{(1)} W^{-1} \text { для любых } \lambda . \] Существование П. с. п. н. было явно отмечено в [1], где они были названы мириотическими («тьма-тьмущая»). П. с. п. н. имеют разное физич. содержание, так что выбор подходящего представления является первоочередной задачей для строгого описания физич. системы. Теорема Хаага (см. [2], [3]) означает, что представление Фока соответствует свободным системам и при математически корректном описании взаимодействующих систем требуется привлекать представления, неэквивалентные представлению Фока. Одним из следствий наличия П. с. п. н. является существование унитарно нереализуемых канонич. преобразований (см. [4], [5]). В соответствии с теоремой Колемана П. с. п. н. необходимы при описании систем со спонтанным нарушением симметрии (см. [6], [7]). В квантовой теории поля П. с. п. н. существенны в решении проблемы инфракрасных расходимостей (см. [8]). В квантовой теории систем многих частиц П. с. п. н. возникают при описании фазовых переходов, сверхтекучести, сверхпроводимости (см. [9]), бозонного и фермионного газов (см. [10], [11]). См. также Перестановочные соотношения, Перестановочных соотношений представления, Гейзенберга представление. Лит.: [1] Friedrichs K. O., Mathematical aspects of the quantum theory of fields, N.Y.- L., 1953; [2] Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т., Общие принципы квантовой теории поля, М., 1987; [3] Эмх Ж., Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [4] Березин Ф. А., Метод вторичного квантования, 2 изд., М., 1986; [5] Завьялов О. И., Сушко В. Н., в сб.: Статистическая физика и квантовая теория поля, М., 1973, с. 411-40; [6] Гриб А. А., Дамаскинский Е. В., Максимов В. М., «Успехи физич. наук», 1970, т. 102, № 4, с. 587-620; [7] Гриб А. А., Проблемы неинвариантности вакуума в квантовой теории поля, М., 1978; [8] Кулиш П. П., Фаддеев Л. Д., «Теоретич. и математич. физика», 1970, т. 4, № 2, с. 153-70; [9] Haag R., «Nuovo Cimento», 1962, v. 25, № 2, p. 287-99; [10] Araki H., Woods E. J., «J. Math. Phys.», 1963, v. 4, № 5, p. 637-62; [11] Araki H., Wyss W., «Helv. Phys. Acta», 1964, v. 37, № 2, p. 136-59.

представления, наличие которых является характерной особенностью квантовых систем с бесконечным числом степеней свободы. Два представления перестановочных соотношений операторами $R_{\lambda}^{(i)}, i=1,2$, в гильбертовых пространствах $H^{(i)}$ называются неэквивалентными представлениями перестановочных соотношений, если не существует изометрич. отображения $W: H^{(1)} \neg H^{(2)}$ такого, что \[ R_{\lambda}^{(2)}=W R_{\lambda}^{(1)} W^{-1} \text { для любых } \lambda . \] Существование П. с. п. н. было явно отмечено в [1], где они были названы мириотическими («тьма-тьмущая»). П. с. п. н. имеют разное физич. содержание, так что выбор подходящего представления является первоочередной задачей для строгого описания физич. системы. Теорема Хаага (см. [2], [3]) означает, что представление Фока соответствует свободным системам и при математически корректном описании взаимодействующих систем требуется привлекать представления, неэквивалентные представлению Фока. Одним из следствий наличия П. с. п. н. является существование унитарно нереализуемых канонич. преобразований (см. [4], [5]). В соответствии с теоремой Колемана П. с. п. н. необходимы при описании систем со спонтанным нарушением симметрии (см. [6], [7]). В квантовой теории поля П. с. п. н. существенны в решении проблемы инфракрасных расходимостей (см. [8]). В квантовой теории систем многих частиц П. с. п. н. возникают при описании фазовых переходов, сверхтекучести, сверхпроводимости (см. [9]), бозонного и фермионного газов (см. [10], [11]). См. также Перестановочные соотношения, Перестановочных соотношений представления, Гейзенберга представление. Лит.: [1] Friedrichs K. O., Mathematical aspects of the quantum theory of fields, N.Y.- L., 1953; [2] Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т., Общие принципы квантовой теории поля, М., 1987; [3] Эмх Ж., Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [4] Березин Ф. А., Метод вторичного квантования, 2 изд., М., 1986; [5] Завьялов О. И., Сушко В. Н., в сб.: Статистическая физика и квантовая теория поля, М., 1973, с. 411-40; [6] Гриб А. А., Дамаскинский Е. В., Максимов В. М., «Успехи физич. наук», 1970, т. 102, № 4, с. 587-620; [7] Гриб А. А., Проблемы неинвариантности вакуума в квантовой теории поля, М., 1978; [8] Кулиш П. П., Фаддеев Л. Д., «Теоретич. и математич. физика», 1970, т. 4, № 2, с. 153-70; [9] Haag R., «Nuovo Cimento», 1962, v. 25, № 2, p. 287-99; [10] Araki H., Woods E. J., «J. Math. Phys.», 1963, v. 4, № 5, p. 637-62; [11] Araki H., Wyss W., «Helv. Phys. Acta», 1964, v. 37, № 2, p. 136-59.