ПОЛИГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, ГИПЕРГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, МЕТАГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, ПОРЯДКА $m$

функция \[ u(x)=u\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \] действительных переменных, определенная в области $D$ евклидова пространства $\mathbb{R}^{n}, n \geqslant 2$, имеющая непрерывные частные производные до $2 m$-го порядка включительно и удовлетворяющая всюду в $D$ полигармоническому уравнению \[ \Delta^{m} u \equiv \Delta(\Delta \ldots(\Delta u))=0, m \geqslant 1, \] где $\Delta$ - оператор Лапласа. При $m=1$ получаются гармонические функции, при $m=2$ - бигармонические функции. Каждая П. ф. есть аналитич. функция от координат $x_{j}$. Нек-рые другие свойства гармонич. функций также переносятся с соответствующими изменениями на П. ф. Для П. ф. любого порядка $m>1$ обобщаются представления при помощи гармонич. функций, известные для бигармонич. функций (см. [1]-[5]). Напр., для П. ф. $\boldsymbol{u}$ двух переменных справедливо представление \[ u\left(x_{1}, x_{2}\right)=\sum_{k=0}^{m-1} r^{2 k} \omega_{k}\left(x_{1}, x_{2}\right), \quad r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}, \] где $\omega_{k}, k=0, \ldots, m-1,-$ гармонич. функции в области $D$. Для того чтобы функция $u\left(x_{1}, x_{2}\right)$ двух переменных была П. ф., необходимо и достаточно, чтобы она была действительной (или мнимой) частью полианалитической функции. Основная краевая задача для П. ф. порядка $m>1$ состоит в следующем: найти П. ф. $u=u(x)$ в области $D$, непрерывную вместе с производными до $(m-1)$-го порядка включительно в замкнутой области $\bar{D}=D \cup C$ и удовлетворяющую на границе $C$ условиям: \[ \left.\begin{array}{l} \left.u\right|_{C}=f_{0}(y), \\ \left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{C}=f_{1}(y), \ldots,\left.\frac{\partial^{m-1} u}{\partial n^{m-1}}\right|_{C}=f_{m-1}(y), \quad y \in C, \end{array}\right\} \] где $\partial u / \partial n-$ производная по нормали к $C$, а $f_{0}(y)$, ..., $f_{m-1}(y)$ - заданные достаточно гладкие функции на достаточно гладкой границе $C$.

функция \[ u(x)=u\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \] действительных переменных, определенная в области $D$ евклидова пространства $\mathbb{R}^{n}, n \geqslant 2$, имеющая непрерывные частные производные до $2 m$-го порядка включительно и удовлетворяющая всюду в $D$ полигармоническому уравнению \[ \Delta^{m} u \equiv \Delta(\Delta \ldots(\Delta u))=0, m \geqslant 1, \] где $\Delta$ - оператор Лапласа. При $m=1$ получаются гармонические функции, при $m=2$ - бигармонические функции. Каждая П. ф. есть аналитич. функция от координат $x_{j}$. Нек-рые другие свойства гармонич. функций также переносятся с соответствующими изменениями на П. ф. Для П. ф. любого порядка $m>1$ обобщаются представления при помощи гармонич. функций, известные для бигармонич. функций (см. [1]-[5]). Напр., для П. ф. $\boldsymbol{u}$ двух переменных справедливо представление \[ u\left(x_{1}, x_{2}\right)=\sum_{k=0}^{m-1} r^{2 k} \omega_{k}\left(x_{1}, x_{2}\right), \quad r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}, \] где $\omega_{k}, k=0, \ldots, m-1,-$ гармонич. функции в области $D$. Для того чтобы функция $u\left(x_{1}, x_{2}\right)$ двух переменных была П. ф., необходимо и достаточно, чтобы она была действительной (или мнимой) частью полианалитической функции. Основная краевая задача для П. ф. порядка $m>1$ состоит в следующем: найти П. ф. $u=u(x)$ в области $D$, непрерывную вместе с производными до $(m-1)$-го порядка включительно в замкнутой области $\bar{D}=D \cup C$ и удовлетворяющую на границе $C$ условиям: \[ \left.\begin{array}{l} \left.u\right|_{C}=f_{0}(y), \\ \left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{C}=f_{1}(y), \ldots,\left.\frac{\partial^{m-1} u}{\partial n^{m-1}}\right|_{C}=f_{m-1}(y), \quad y \in C, \end{array}\right\} \] где $\partial u / \partial n-$ производная по нормали к $C$, а $f_{0}(y)$, ..., $f_{m-1}(y)$ - заданные достаточно гладкие функции на достаточно гладкой границе $C$.