БОГОЛЮБОВА УРАВНЕНИЯ

система дифференциальных уравнений для параметров $u(\boldsymbol{r}), v(\boldsymbol{r})(\boldsymbol{r}-$ пространственная переменная) канонического преобразования Боголюбова в случае сверхпроводящих пространственно неоднородных состояний систем заряженных частиц (электронов). Эти уравнения были получены Н.Н. Боголюбовым [1] в результате обобщения принципа компенсации «опасных» (приводящих к расходимостям при интегрировании по импульсам) диаграмм, примененного ранее к однородному электронному газу при наличии притяжения между частицами. Неоднородное состояние в сверхпроводящей системе возникает, когда на электрон действует магнитное поле \[ \boldsymbol{H}=\operatorname{rot} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \] $(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$ - вектор-потенциал). В этом случае система описывается гамильтонианом \[ \begin{gathered} \mathscr{H}=\int d^{3} \boldsymbol{r}\left[\sum_{\alpha} \Psi_{\alpha}^{+}(\boldsymbol{r}) \mathscr{H}_{e}(\boldsymbol{r}) \Psi_{\alpha}(\boldsymbol{r})+\right. \\ +U(\boldsymbol{r}) \Psi_{\alpha}^{+}(\boldsymbol{r}) \Psi_{\alpha}(\boldsymbol{r})+\Delta(\boldsymbol{r}) \Psi_{1 / 2}^{+}(\boldsymbol{r}) \Psi_{-1 / 2}^{+}(\boldsymbol{r})+ \\ \left.+\Delta^{*}(\boldsymbol{r}) \Psi_{-1 / 2}(\boldsymbol{r}) \Psi_{1 / 2}(\boldsymbol{r})\right], \end{gathered} \] где \[ \mathscr{H}_{e}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{2 m}\left(-i \hbar \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}-\frac{e}{c} A(\boldsymbol{r})\right)^{2}-E_{F}, \] $\Psi_{\alpha}^{+}(\boldsymbol{r}), \Psi_{\alpha}(\boldsymbol{r})$ - операторы рождения и гибели электрона в точке $\boldsymbol{r}$ с проекцией спина $\alpha= \pm 1 / 2 ; U(\boldsymbol{r})-$ средний потенциал, к-рый можно выбрать самосогласованным образом, $\Delta(\boldsymbol{r})$ - так наз. потенциал спаривания, $E_{F}-$ энергия Ферми; $m, e-$ масса и заряд электрона. Диагонализуя гамильтониан (1) с помощью обобщенного канонич. преобразования \[ \left.\begin{array}{l} \Psi_{1 / 2}(\boldsymbol{r})=\sum_{n}\left(\gamma_{n, 1 / 2} u_{n}(\boldsymbol{r})-\gamma_{n,-1 / 2}^{+} v_{n}^{*}(\boldsymbol{r})\right), \\ \Psi_{-1 / 2}(\boldsymbol{r})=\sum_{n}\left(\gamma_{n,-1 / 2} u_{n}(\boldsymbol{r})+\gamma_{n, 1 / 2}^{+} v_{n}^{*}(\boldsymbol{r})\right) \end{array}\right\} \] $\left(\gamma_{n, \alpha}^{+}, \gamma_{n, \alpha}-\right.$ операторы рождения и гибели новых квазичастиц; суммирование выполняется по полному набору квантовых чисел квазичастиц), Н. Н. Боголюбов из принципа компенсации опасных диаграмм пришел к уравнениям для коэффициентов $u_{n}(\boldsymbol{r}), v_{n}(\boldsymbol{r})$ канонич. преобразования (2) \[ \left.\begin{array}{l} \varepsilon_{n} u_{n}(\boldsymbol{r})=\left(\mathscr{H}_{e}+U(\boldsymbol{r})\right) u_{n}(\boldsymbol{r})+\Delta(\boldsymbol{r}) v_{n}(\boldsymbol{r}), \\ \varepsilon_{n} v_{n}(\boldsymbol{r})=-\left(\mathscr{*}_{e}^{*}+U(\boldsymbol{r})\right) v_{n}(\boldsymbol{r})+\Delta^{*}(\boldsymbol{r}) u_{n}(\boldsymbol{r}) . \end{array}\right\} \] На уравнения (3) можно смотреть как на волновые уравнения для квазичастичной двухкомпонентной волновой функции $\left\|\begin{array}{l}u_{n} \\ v_{n}\end{array}\right\|$, отвечающей собственному значению $\varepsilon_{n}$. Потенциалы $U(\boldsymbol{r})$ и $\Delta(\boldsymbol{r})$, вычисленные из условия минимума плотности свободной энергии $F=\langle\mathscr{H}\rangle-T S(T-$ температура, $S$ - плотность энтропии системы, $\langle\ldots\rangle$ означает усреднение по состояниям, диагонализующим $\mathscr{H}$ ), имеют вид: \[ \left.\begin{array}{c} U(\boldsymbol{r})=-V \sum_{n}\left(\left|u_{n}(\boldsymbol{r})\right|^{2} f_{n}+\left|v_{n}(\boldsymbol{r})\right|^{2}\left(1-f_{n}\right)\right), \\ \Delta(\boldsymbol{r})=V \sum_{n} u_{n}(\boldsymbol{r}) v_{n}^{*}(\boldsymbol{r})\left(1-2 f_{n}\right), \\ f_{n}=\left(\exp \frac{\varepsilon_{n}}{T}+1\right)^{-1}, \end{array}\right\} \] $V$ - константа взаимодействия электронов друг с другом. Уравнения (3) вместе с выражениями (4) для потенциалов играют фундаментальную роль в микроскопич. теории сверхпроводимости. Эти уравнения широко используются при исследовании эффекта Джозефсона в сверхпроводящих контактах. В теории сверхпроводимости, основанной на уравнениях (3)-(4), лежит обобщение приближения Хартри - Фока на тот случай, когда в системе появляются аномальные средние типа $\left\langle\psi_{-1 / 2} \psi_{1 / 2}\right\rangle,\left\langle\psi_{1 / 2}, \psi_{-1 / 2}\right\rangle$, связанные со спонтанным нарушением симметрии состояния статистич. равновесия относительно фазовых преобразований.

система дифференциальных уравнений для параметров $u(\boldsymbol{r}), v(\boldsymbol{r})(\boldsymbol{r}-$ пространственная переменная) канонического преобразования Боголюбова в случае сверхпроводящих пространственно неоднородных состояний систем заряженных частиц (электронов). Эти уравнения были получены Н.Н. Боголюбовым [1] в результате обобщения принципа компенсации «опасных» (приводящих к расходимостям при интегрировании по импульсам) диаграмм, примененного ранее к однородному электронному газу при наличии притяжения между частицами. Неоднородное состояние в сверхпроводящей системе возникает, когда на электрон действует магнитное поле \[ \boldsymbol{H}=\operatorname{rot} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \] $(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$ - вектор-потенциал). В этом случае система описывается гамильтонианом \[ \begin{gathered} \mathscr{H}=\int d^{3} \boldsymbol{r}\left[\sum_{\alpha} \Psi_{\alpha}^{+}(\boldsymbol{r}) \mathscr{H}_{e}(\boldsymbol{r}) \Psi_{\alpha}(\boldsymbol{r})+\right. \\ +U(\boldsymbol{r}) \Psi_{\alpha}^{+}(\boldsymbol{r}) \Psi_{\alpha}(\boldsymbol{r})+\Delta(\boldsymbol{r}) \Psi_{1 / 2}^{+}(\boldsymbol{r}) \Psi_{-1 / 2}^{+}(\boldsymbol{r})+ \\ \left.+\Delta^{*}(\boldsymbol{r}) \Psi_{-1 / 2}(\boldsymbol{r}) \Psi_{1 / 2}(\boldsymbol{r})\right], \end{gathered} \] где \[ \mathscr{H}_{e}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{2 m}\left(-i \hbar \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}-\frac{e}{c} A(\boldsymbol{r})\right)^{2}-E_{F}, \] $\Psi_{\alpha}^{+}(\boldsymbol{r}), \Psi_{\alpha}(\boldsymbol{r})$ - операторы рождения и гибели электрона в точке $\boldsymbol{r}$ с проекцией спина $\alpha= \pm 1 / 2 ; U(\boldsymbol{r})-$ средний потенциал, к-рый можно выбрать самосогласованным образом, $\Delta(\boldsymbol{r})$ - так наз. потенциал спаривания, $E_{F}-$ энергия Ферми; $m, e-$ масса и заряд электрона. Диагонализуя гамильтониан (1) с помощью обобщенного канонич. преобразования \[ \left.\begin{array}{l} \Psi_{1 / 2}(\boldsymbol{r})=\sum_{n}\left(\gamma_{n, 1 / 2} u_{n}(\boldsymbol{r})-\gamma_{n,-1 / 2}^{+} v_{n}^{*}(\boldsymbol{r})\right), \\ \Psi_{-1 / 2}(\boldsymbol{r})=\sum_{n}\left(\gamma_{n,-1 / 2} u_{n}(\boldsymbol{r})+\gamma_{n, 1 / 2}^{+} v_{n}^{*}(\boldsymbol{r})\right) \end{array}\right\} \] $\left(\gamma_{n, \alpha}^{+}, \gamma_{n, \alpha}-\right.$ операторы рождения и гибели новых квазичастиц; суммирование выполняется по полному набору квантовых чисел квазичастиц), Н. Н. Боголюбов из принципа компенсации опасных диаграмм пришел к уравнениям для коэффициентов $u_{n}(\boldsymbol{r}), v_{n}(\boldsymbol{r})$ канонич. преобразования (2) \[ \left.\begin{array}{l} \varepsilon_{n} u_{n}(\boldsymbol{r})=\left(\mathscr{H}_{e}+U(\boldsymbol{r})\right) u_{n}(\boldsymbol{r})+\Delta(\boldsymbol{r}) v_{n}(\boldsymbol{r}), \\ \varepsilon_{n} v_{n}(\boldsymbol{r})=-\left(\mathscr{*}_{e}^{*}+U(\boldsymbol{r})\right) v_{n}(\boldsymbol{r})+\Delta^{*}(\boldsymbol{r}) u_{n}(\boldsymbol{r}) . \end{array}\right\} \] На уравнения (3) можно смотреть как на волновые уравнения для квазичастичной двухкомпонентной волновой функции $\left\|\begin{array}{l}u_{n} \\ v_{n}\end{array}\right\|$, отвечающей собственному значению $\varepsilon_{n}$. Потенциалы $U(\boldsymbol{r})$ и $\Delta(\boldsymbol{r})$, вычисленные из условия минимума плотности свободной энергии $F=\langle\mathscr{H}\rangle-T S(T-$ температура, $S$ - плотность энтропии системы, $\langle\ldots\rangle$ означает усреднение по состояниям, диагонализующим $\mathscr{H}$ ), имеют вид: \[ \left.\begin{array}{c} U(\boldsymbol{r})=-V \sum_{n}\left(\left|u_{n}(\boldsymbol{r})\right|^{2} f_{n}+\left|v_{n}(\boldsymbol{r})\right|^{2}\left(1-f_{n}\right)\right), \\ \Delta(\boldsymbol{r})=V \sum_{n} u_{n}(\boldsymbol{r}) v_{n}^{*}(\boldsymbol{r})\left(1-2 f_{n}\right), \\ f_{n}=\left(\exp \frac{\varepsilon_{n}}{T}+1\right)^{-1}, \end{array}\right\} \] $V$ - константа взаимодействия электронов друг с другом. Уравнения (3) вместе с выражениями (4) для потенциалов играют фундаментальную роль в микроскопич. теории сверхпроводимости. Эти уравнения широко используются при исследовании эффекта Джозефсона в сверхпроводящих контактах. В теории сверхпроводимости, основанной на уравнениях (3)-(4), лежит обобщение приближения Хартри - Фока на тот случай, когда в системе появляются аномальные средние типа $\left\langle\psi_{-1 / 2} \psi_{1 / 2}\right\rangle,\left\langle\psi_{1 / 2}, \psi_{-1 / 2}\right\rangle$, связанные со спонтанным нарушением симметрии состояния статистич. равновесия относительно фазовых преобразований.