ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ ПРИ ОТРАЖЕНИИ

свойство квазисостояния (или состояния), заданного на полевой алгебре и описывающего евклидово поле на $\mathbb{R}^{v+1}$ или на $\mathbb{Z}^{v+1}$. Пусть $\left\{a(\varphi), \varphi \in D\left(\mathbb{R}^{v+1}, K\right)\right\}$ - семейство образующих полевой алгебры $\varepsilon$, помеченных элементами нек-рого векторного пространства функций $\varphi$, определенных на $\mathbb{R}^{v+1}$ со значениями в (конечномерном) векторном пространстве $K$. Пусть отражение во времени \[ \vartheta: x=\left(x^{0}, x^{1}, \ldots, x^{v}\right) \rightarrow\left(-x^{0}, x^{1}, \ldots, x^{v}\right) \] порождает автоморфизм в $D\left(\mathbb{R}^{v}, K\right)$ : \[ (\vartheta \varphi)(x)=I \varphi(\vartheta x) \text {, } \] где $I-$ антилинейная инволюция в $K$, и, затем, антилинейную инволюцию в $\varepsilon$, действующую на образующие по формуле \[ \theta a(\varphi)=a(\vartheta \varphi) \] и продолжающуюся на всю алгебру $\varepsilon$ с помощью соотношения \[ \theta(A B)=\theta(A) \theta(B), \quad A, B \in \varepsilon . \] Квазисостояние (то есть линейный функционал $\langle\cdot\rangle$ на $\varepsilon$ такой, что $\langle 1\rangle=1)$ называется положительным при отражении, или положительным по Остервальдеру - Шрадеру (OS-положительным), если: 1) оно инвариантно относительно $\theta$ : \[ \langle\theta F\rangle=\overline{\langle F\rangle}, F \in \varepsilon ; \] 2) для любого $F \in \varepsilon_{+},\langle F, \theta F\rangle \geqslant 0$, где $\varepsilon_{+} \subset \varepsilon-$ подалгебра, порожденная образующими $\{a(\varphi)\}$, у к-рых \[ \operatorname{supp} \varphi \subset \mathbb{R}_{+}^{v+1}=\left\{x: x^{0} \geqslant 0\right\} \] (подалгебра «будущего»). Свойство $O S$-положительности позволяет ввести «физическое» гильбертово пространство поля \[ \mathscr{H}_{\text {физ }}=\overline{\varepsilon_{+} / N}, \] где $N=\left\{F \in \varepsilon_{+}:\langle F, \theta F\rangle=0\right\}-$ нулевое подпространство со скалярным произведением в $\varepsilon_{+} / N$ : \[ ([F],[G])=\langle F, \theta G\rangle \] ([F] - класс элемента $F \in \varepsilon_{+}$при факторизации $\varepsilon_{+} / N$; черта в (1) означает пополнение по этому скалярному произведению). Семейство отображений \[ U_{\tau}: \mathscr{H}_{\text {физ }} \rightarrow \mathscr{H}_{\text {физ }}, \tau>0 \] порождаемых сдвигами $U_{\tau}: \varepsilon_{+} \rightarrow \varepsilon_{+}$, действующими на образующие $U_{\tau} a(\varphi)=a(\varphi+\tau)(\varphi+\tau-$ сдвиг функции $\varphi$ на величину $\tau$ вдоль направления «времени»), является сжимающей полугруппой в $\mathscr{H}_{\text {физ }}$, и ее генератор $H$ называется гамильтонианом поля. Лит.: [1] Osterwalder K., Schrader R., «Comm. Math. Phys.», 1973, v. 31, p. 83-112, 1975, v. 42, p. 281-305.

свойство квазисостояния (или состояния), заданного на полевой алгебре и описывающего евклидово поле на $\mathbb{R}^{v+1}$ или на $\mathbb{Z}^{v+1}$. Пусть $\left\{a(\varphi), \varphi \in D\left(\mathbb{R}^{v+1}, K\right)\right\}$ - семейство образующих полевой алгебры $\varepsilon$, помеченных элементами нек-рого векторного пространства функций $\varphi$, определенных на $\mathbb{R}^{v+1}$ со значениями в (конечномерном) векторном пространстве $K$. Пусть отражение во времени \[ \vartheta: x=\left(x^{0}, x^{1}, \ldots, x^{v}\right) \rightarrow\left(-x^{0}, x^{1}, \ldots, x^{v}\right) \] порождает автоморфизм в $D\left(\mathbb{R}^{v}, K\right)$ : \[ (\vartheta \varphi)(x)=I \varphi(\vartheta x) \text {, } \] где $I-$ антилинейная инволюция в $K$, и, затем, антилинейную инволюцию в $\varepsilon$, действующую на образующие по формуле \[ \theta a(\varphi)=a(\vartheta \varphi) \] и продолжающуюся на всю алгебру $\varepsilon$ с помощью соотношения \[ \theta(A B)=\theta(A) \theta(B), \quad A, B \in \varepsilon . \] Квазисостояние (то есть линейный функционал $\langle\cdot\rangle$ на $\varepsilon$ такой, что $\langle 1\rangle=1)$ называется положительным при отражении, или положительным по Остервальдеру - Шрадеру (OS-положительным), если: 1) оно инвариантно относительно $\theta$ : \[ \langle\theta F\rangle=\overline{\langle F\rangle}, F \in \varepsilon ; \] 2) для любого $F \in \varepsilon_{+},\langle F, \theta F\rangle \geqslant 0$, где $\varepsilon_{+} \subset \varepsilon-$ подалгебра, порожденная образующими $\{a(\varphi)\}$, у к-рых \[ \operatorname{supp} \varphi \subset \mathbb{R}_{+}^{v+1}=\left\{x: x^{0} \geqslant 0\right\} \] (подалгебра «будущего»). Свойство $O S$-положительности позволяет ввести «физическое» гильбертово пространство поля \[ \mathscr{H}_{\text {физ }}=\overline{\varepsilon_{+} / N}, \] где $N=\left\{F \in \varepsilon_{+}:\langle F, \theta F\rangle=0\right\}-$ нулевое подпространство со скалярным произведением в $\varepsilon_{+} / N$ : \[ ([F],[G])=\langle F, \theta G\rangle \] ([F] - класс элемента $F \in \varepsilon_{+}$при факторизации $\varepsilon_{+} / N$; черта в (1) означает пополнение по этому скалярному произведению). Семейство отображений \[ U_{\tau}: \mathscr{H}_{\text {физ }} \rightarrow \mathscr{H}_{\text {физ }}, \tau>0 \] порождаемых сдвигами $U_{\tau}: \varepsilon_{+} \rightarrow \varepsilon_{+}$, действующими на образующие $U_{\tau} a(\varphi)=a(\varphi+\tau)(\varphi+\tau-$ сдвиг функции $\varphi$ на величину $\tau$ вдоль направления «времени»), является сжимающей полугруппой в $\mathscr{H}_{\text {физ }}$, и ее генератор $H$ называется гамильтонианом поля. Лит.: [1] Osterwalder K., Schrader R., «Comm. Math. Phys.», 1973, v. 31, p. 83-112, 1975, v. 42, p. 281-305.