БОГОЛЮБОВА ЦЕПОЧКА УРАВНЕНИЙ [ББГКИ УРАВНЕНИЯ - Н.Н. БОГОЛЮБОВ, М. БОРН (M. BORN), ДЖ. ГРИН (G. GREEN), ДЖ. КИРКВУД (J. KIRKWOOD), ДЖ. ИВОН (J. YVON)]

цепочка уравнений (иерархия) для одночастичных, двухчастичных и т. д. функций распределения классической статистической системы. Эти функции определяются так: \[ \begin{gathered} F_{s}\left(t, \boldsymbol{\eta}_{1}, \ldots, \boldsymbol{r}_{s}, \boldsymbol{p}_{1}, \ldots, \boldsymbol{p}_{s}\right)= \\ =V^{s} \int w_{N} d \boldsymbol{r}_{s+1} \ldots d r_{N} d p_{s+1} \ldots d p_{N}, \end{gathered} \] где $s=1,2, \ldots, V$ - объем системы, а $w_{N}$ есть $N$-частичная нормированная на единицу функция распределения, удовлетворяющая Лиувилля уравнению \[ \frac{\partial w_{N}}{\partial t}=\left\{H, w_{N}\right\} \] где фигурные скобки - скобки Пуассона, а $H$ - гамильтониан системы. Б. ц. у. в предельном статистич. случае $V \rightarrow \infty$, $V / N=v=$ const имеет вид уравнения для $F_{s}$ со специфическим «зацеплением» с функцией $F_{s+1}$ более высокого ранга: \[ \frac{\partial F_{s}}{\partial t}-\left\{H_{s}, F_{s}\right\}=\frac{1}{v} \int\left\{\sum_{1 \leqslant i \leqslant s} \Phi\left(\left|\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{s+1}\right|\right), F_{s+1}\right\} d \boldsymbol{r}_{s+1} d \boldsymbol{p}_{s+1} \text {, } \] где $\Phi\left(\left|\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{s+1}\right|\right)$ - потенциал взаимодействия $i$-й и $(s+1)-\breve{и}$ частиц, а $H_{s}$ - гамильтониан $s$ частиц системы. В термодинамически равновесном случае, когда распределение по импульсам каждой частицы является Максвелла распределением, рассматриваются $s$-частичные функции распределения по координатам частиц, к-рые определяются соотношениями типа (1) через $N$-частичную функцию \[ w_{N}=\left(\boldsymbol{r}_{1}, \ldots, \boldsymbol{r}_{N}\right)=\frac{1}{Q} \exp \left(-\frac{H_{1}}{Q}\right), \] где $H_{1}=H-H_{0}$, причем $H_{0}$ есть сумма кинетич. энергий частиц системы, а конфигурационный интеграл $Q$ определяется из условия нормировки (4). Б. ц. у. для этих функций имеет вид: \[ \frac{\partial F_{s}}{\partial x_{1}}+\frac{1}{Q} \frac{\partial U_{s}}{\partial x_{1}} F_{s}+\frac{1}{Q} \frac{1}{v} \int \frac{\partial \Phi\left(\left|\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{s+1}\right|\right)}{\partial x_{1}} F_{s+1} d \boldsymbol{r}_{s+1}=0 \] где $U_{s}$ - потенциальная энергия взаимодействия $s$ частиц системы. При помощи функций распределения, главным образом $F_{1}$ и $F_{2}$, могут быть выражены все специфические характеристики статистич. систем. Основные трудности исследования Б. ц. у. (3) или (5) связаны с проблемами замыкания системы (расцепление Б. ц. у.) и решения замкнутой системы со специальными предельными условиями для функций $F_{s}$. Это исследование специфично для физич. систем различного типа и наиболее разработано для случаев короткодействия, когда $r_{0}^{3} / v \ll 1$, где $r_{0}-$ эффективный радиус взаимодействия частиц друг с другом, и для случаев дальнодействия, когда $r_{0}^{3} / v \gg 1$, в частности для системы с кулоновским взаимодействием. Во временной теории это приводит непосредственно к кинетич. Больцмана уравнению для одночастичной функции $F_{1}$ или к Власова кинетическому уравнению, а в равновесной теории - к вириальному разложению для термодинамич. потенциала или к специфическим кулоновским поправкам. При рассмотрении квантовых статистич. систем Б. ц. у. составляется для $s$-частичных статистич. квантовых операторов $\left\langle x_{1}, \ldots, x_{s}\left|F_{s}\right| x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{s}^{\prime}\right\rangle$, являющихся следами по переменным $s+1, \ldots, N$ частиц общего $N$-частичного оператора - матрицы плотности. Эти уравнения имеют вид, аналогичный уравнениям (3), в к-рых классич. скобки Пуассона заменены квантовыми скобками.

цепочка уравнений (иерархия) для одночастичных, двухчастичных и т. д. функций распределения классической статистической системы. Эти функции определяются так: \[ \begin{gathered} F_{s}\left(t, \boldsymbol{\eta}_{1}, \ldots, \boldsymbol{r}_{s}, \boldsymbol{p}_{1}, \ldots, \boldsymbol{p}_{s}\right)= \\ =V^{s} \int w_{N} d \boldsymbol{r}_{s+1} \ldots d r_{N} d p_{s+1} \ldots d p_{N}, \end{gathered} \] где $s=1,2, \ldots, V$ - объем системы, а $w_{N}$ есть $N$-частичная нормированная на единицу функция распределения, удовлетворяющая Лиувилля уравнению \[ \frac{\partial w_{N}}{\partial t}=\left\{H, w_{N}\right\} \] где фигурные скобки - скобки Пуассона, а $H$ - гамильтониан системы. Б. ц. у. в предельном статистич. случае $V \rightarrow \infty$, $V / N=v=$ const имеет вид уравнения для $F_{s}$ со специфическим «зацеплением» с функцией $F_{s+1}$ более высокого ранга: \[ \frac{\partial F_{s}}{\partial t}-\left\{H_{s}, F_{s}\right\}=\frac{1}{v} \int\left\{\sum_{1 \leqslant i \leqslant s} \Phi\left(\left|\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{s+1}\right|\right), F_{s+1}\right\} d \boldsymbol{r}_{s+1} d \boldsymbol{p}_{s+1} \text {, } \] где $\Phi\left(\left|\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{s+1}\right|\right)$ - потенциал взаимодействия $i$-й и $(s+1)-\breve{и}$ частиц, а $H_{s}$ - гамильтониан $s$ частиц системы. В термодинамически равновесном случае, когда распределение по импульсам каждой частицы является Максвелла распределением, рассматриваются $s$-частичные функции распределения по координатам частиц, к-рые определяются соотношениями типа (1) через $N$-частичную функцию \[ w_{N}=\left(\boldsymbol{r}_{1}, \ldots, \boldsymbol{r}_{N}\right)=\frac{1}{Q} \exp \left(-\frac{H_{1}}{Q}\right), \] где $H_{1}=H-H_{0}$, причем $H_{0}$ есть сумма кинетич. энергий частиц системы, а конфигурационный интеграл $Q$ определяется из условия нормировки (4). Б. ц. у. для этих функций имеет вид: \[ \frac{\partial F_{s}}{\partial x_{1}}+\frac{1}{Q} \frac{\partial U_{s}}{\partial x_{1}} F_{s}+\frac{1}{Q} \frac{1}{v} \int \frac{\partial \Phi\left(\left|\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{s+1}\right|\right)}{\partial x_{1}} F_{s+1} d \boldsymbol{r}_{s+1}=0 \] где $U_{s}$ - потенциальная энергия взаимодействия $s$ частиц системы. При помощи функций распределения, главным образом $F_{1}$ и $F_{2}$, могут быть выражены все специфические характеристики статистич. систем. Основные трудности исследования Б. ц. у. (3) или (5) связаны с проблемами замыкания системы (расцепление Б. ц. у.) и решения замкнутой системы со специальными предельными условиями для функций $F_{s}$. Это исследование специфично для физич. систем различного типа и наиболее разработано для случаев короткодействия, когда $r_{0}^{3} / v \ll 1$, где $r_{0}-$ эффективный радиус взаимодействия частиц друг с другом, и для случаев дальнодействия, когда $r_{0}^{3} / v \gg 1$, в частности для системы с кулоновским взаимодействием. Во временной теории это приводит непосредственно к кинетич. Больцмана уравнению для одночастичной функции $F_{1}$ или к Власова кинетическому уравнению, а в равновесной теории - к вириальному разложению для термодинамич. потенциала или к специфическим кулоновским поправкам. При рассмотрении квантовых статистич. систем Б. ц. у. составляется для $s$-частичных статистич. квантовых операторов $\left\langle x_{1}, \ldots, x_{s}\left|F_{s}\right| x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{s}^{\prime}\right\rangle$, являющихся следами по переменным $s+1, \ldots, N$ частиц общего $N$-частичного оператора - матрицы плотности. Эти уравнения имеют вид, аналогичный уравнениям (3), в к-рых классич. скобки Пуассона заменены квантовыми скобками.