ПОТЕНЦИАЛ, ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

характеристика векторного поля, например силового (электромагнитного, гравитационного и др.), поля скоростей (жидкости, газа) и т. п. Скалярным потенциалом векторного поля $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$ называется функция $\varphi(\boldsymbol{r})$ такая, что $\boldsymbol{a}=-\operatorname{grad} \varphi$ (или $\boldsymbol{a}=$ $=\operatorname{grad} \varphi$ ). Физич. смысл имеет не сам П., определяемый с точностью до произвольной постоянной, а разность П. Векторным потенциалом векторного поля $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$ называется векторная функция $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$ такая, что $\boldsymbol{a}=\operatorname{rot} \boldsymbol{A}$. Векторный П. $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$ определен с точностью до градиента произвольной функции [калибровочная (градиентная) инвариантность]. Векторное поле называется потенциальным, если rot $\boldsymbol{a}=0(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=0$ и поле описывается скалярным П. $\varphi(\boldsymbol{r}))$. Если $\operatorname{div} \boldsymbol{A}=0$, то поле называется соленоидальным (вихревым). Произвольное векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей. Поверхности (линии) равного скалярного П. (то есть поверхности, все точки К-рых имеют один и тот же П.) называются эквипотенциальными. Силовые линии векторного поля (такие, что $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$ касателен к ним в каждой точке) перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. П. электростатич. (гравитационного) поля определяется как отношение потенциальной энергии частицы, внесенной в поле, к величине ее заряда (массы). П. служит энергетич. характеристикой поля и удовлетворяет Пуассона уравнению: \[ \Delta \varphi(x, y, z)=-4 \pi \rho(x, y, z) \] где $\rho$ - плотность распределения зарядов (масс). См. также Двойного слоя потенциал, Логарифмический потенциал, Комплексный потенциал, Ньютонов потенциал, Простого слоя потенциал.

характеристика векторного поля, например силового (электромагнитного, гравитационного и др.), поля скоростей (жидкости, газа) и т. п. Скалярным потенциалом векторного поля $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$ называется функция $\varphi(\boldsymbol{r})$ такая, что $\boldsymbol{a}=-\operatorname{grad} \varphi$ (или $\boldsymbol{a}=$ $=\operatorname{grad} \varphi$ ). Физич. смысл имеет не сам П., определяемый с точностью до произвольной постоянной, а разность П. Векторным потенциалом векторного поля $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$ называется векторная функция $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$ такая, что $\boldsymbol{a}=\operatorname{rot} \boldsymbol{A}$. Векторный П. $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$ определен с точностью до градиента произвольной функции [калибровочная (градиентная) инвариантность]. Векторное поле называется потенциальным, если rot $\boldsymbol{a}=0(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=0$ и поле описывается скалярным П. $\varphi(\boldsymbol{r}))$. Если $\operatorname{div} \boldsymbol{A}=0$, то поле называется соленоидальным (вихревым). Произвольное векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей. Поверхности (линии) равного скалярного П. (то есть поверхности, все точки К-рых имеют один и тот же П.) называются эквипотенциальными. Силовые линии векторного поля (такие, что $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$ касателен к ним в каждой точке) перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. П. электростатич. (гравитационного) поля определяется как отношение потенциальной энергии частицы, внесенной в поле, к величине ее заряда (массы). П. служит энергетич. характеристикой поля и удовлетворяет Пуассона уравнению: \[ \Delta \varphi(x, y, z)=-4 \pi \rho(x, y, z) \] где $\rho$ - плотность распределения зарядов (масс). См. также Двойного слоя потенциал, Логарифмический потенциал, Комплексный потенциал, Ньютонов потенциал, Простого слоя потенциал.