ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ

системы дифференциальных уравнений \[ \frac{d x}{d t}=P(x, y) ; \quad \frac{d y}{d t}=Q(x, y) \] - замкнутая траектория в фазовом пространстве $O x y$, обладающая тем свойством, что все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной ее окрестности, неограниченно приближаются к этой траектории или при $t \rightarrow+\infty$ (устойчивый П. ц.), или при $t \rightarrow-\infty$ (неустойчивый П. ц.), или часть из них при $t \rightarrow+\infty$, а остальные при $t \rightarrow-\infty$ (полуустойчивый П. ц.). Напр., система \[ \frac{d r}{d t}=1-r, \quad \frac{d \varphi}{d t}=1 \] ( $r$ и $\varphi$ - полярные координаты), общее решение к-рой \[ \begin{gathered} r=1-\left(1-r_{0}\right) e^{-t}, \\ \varphi=\varphi_{0}+t \end{gathered} \] Устойчивый предельный цикл. (где $r_{0} \geqslant 0$ ), имеет устойчивый П. ц. $r=1$ (рис.). Понятие П. ц. переносится также на систему $n$-го порядка. С механич. точки зрения устойчивый П. ц. соответствует устойчивому периодич. режиму системы. Поэтому разыскание П. ц. имеет важное значение в теории нелинейных колебаний. В. В. Немыцкий.

системы дифференциальных уравнений \[ \frac{d x}{d t}=P(x, y) ; \quad \frac{d y}{d t}=Q(x, y) \] - замкнутая траектория в фазовом пространстве $O x y$, обладающая тем свойством, что все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной ее окрестности, неограниченно приближаются к этой траектории или при $t \rightarrow+\infty$ (устойчивый П. ц.), или при $t \rightarrow-\infty$ (неустойчивый П. ц.), или часть из них при $t \rightarrow+\infty$, а остальные при $t \rightarrow-\infty$ (полуустойчивый П. ц.). Напр., система \[ \frac{d r}{d t}=1-r, \quad \frac{d \varphi}{d t}=1 \] ( $r$ и $\varphi$ - полярные координаты), общее решение к-рой \[ \begin{gathered} r=1-\left(1-r_{0}\right) e^{-t}, \\ \varphi=\varphi_{0}+t \end{gathered} \] Устойчивый предельный цикл. (где $r_{0} \geqslant 0$ ), имеет устойчивый П. ц. $r=1$ (рис.). Понятие П. ц. переносится также на систему $n$-го порядка. С механич. точки зрения устойчивый П. ц. соответствует устойчивому периодич. режиму системы. Поэтому разыскание П. ц. имеет важное значение в теории нелинейных колебаний. В. В. Немыцкий.