ПРОЕКТИВНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ $G$ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ $V$

представление такое, что \[ g \rightarrow T_{g}, g \in G \] \[ T_{g_{1} g_{2}}=c\left(g_{1} g_{2}\right) T_{g_{1}} T_{g_{2}}, \] где $c\left(g_{1}, g_{2}\right)$ - комплексное число, называемое мультипликатором проективного представления. Этот множитель не произволен, он должен удовлетворять тождеству \[ c\left(g_{1}, g_{2}\right) c\left(g_{1} g_{2}, g_{3}\right)=c\left(g_{1}, g_{2} g_{3}\right) c\left(g_{2}, g_{3}\right) . \] Таким образом, каждое П. п. группы $G$ определяет элемент группы $H^{2}\left(G, \mathbb{C}^{*}\right)$ - группы двумерных когомологий группы $\boldsymbol{G}$ со значениями в группе $\mathbb{C}^{*}$ комплексных чисел по умножению. Пусть $\widetilde{G}$ - центральное расширение группы $G$ с помощью группы $H$ и $\widetilde{T}-$ неприводимое линейное представление $\widetilde{G}$. Для любого $h \in H$ операторы $T_{h}$ скалярны. Пусть $g \in G$, а $\widetilde{g}$ какой-нибудь его прообраз в $\widetilde{G}$. Поставим в соответствие элементу $g$ оператор $T_{g}=\widetilde{T}_{\widetilde{g}}$. Тогда $g \rightarrow T-$ П. п. группы $G$. Если нек-рое П. п. $T_{g}$ группы $G$ может быть получено такой процедурой из представления $\widetilde{T}$ группы $\widetilde{G}$, то говорят, что представление $T$ линеаризуется на $\widetilde{G}$. Пусть $G$ - конечная группа. Тогда существует, вообще говоря, не единственное центральное расширение $\widetilde{G}$ группы $G$ с помощью нек-рой конечной абелевой группы $H$, на к-ром линеаризуются все неприводимые представления группы $G$. Напр., если $G=S_{n}-$ группа подстановок из $n$ элементов (симметрич. группа), то при $n>6$ группа $H$ оказывается группой из двух элементов. Любое проективное унитарное или конечномерное представление простой группы Ли $G$ линеаризуется на универсальной накрывающей группе $\widetilde{G}$ группы $G$ (в частности, если группа $G$ односвязна, то любое ее П. п. сводится к линейному). Любое унитарное представление $T$ группы Ли $G$ линеаризуется на нек-рой группе Ли $\widetilde{G}$ (она зависит от $T$). Ю. А. Неретин.

представление такое, что \[ g \rightarrow T_{g}, g \in G \] \[ T_{g_{1} g_{2}}=c\left(g_{1} g_{2}\right) T_{g_{1}} T_{g_{2}}, \] где $c\left(g_{1}, g_{2}\right)$ - комплексное число, называемое мультипликатором проективного представления. Этот множитель не произволен, он должен удовлетворять тождеству \[ c\left(g_{1}, g_{2}\right) c\left(g_{1} g_{2}, g_{3}\right)=c\left(g_{1}, g_{2} g_{3}\right) c\left(g_{2}, g_{3}\right) . \] Таким образом, каждое П. п. группы $G$ определяет элемент группы $H^{2}\left(G, \mathbb{C}^{*}\right)$ - группы двумерных когомологий группы $\boldsymbol{G}$ со значениями в группе $\mathbb{C}^{*}$ комплексных чисел по умножению. Пусть $\widetilde{G}$ - центральное расширение группы $G$ с помощью группы $H$ и $\widetilde{T}-$ неприводимое линейное представление $\widetilde{G}$. Для любого $h \in H$ операторы $T_{h}$ скалярны. Пусть $g \in G$, а $\widetilde{g}$ какой-нибудь его прообраз в $\widetilde{G}$. Поставим в соответствие элементу $g$ оператор $T_{g}=\widetilde{T}_{\widetilde{g}}$. Тогда $g \rightarrow T-$ П. п. группы $G$. Если нек-рое П. п. $T_{g}$ группы $G$ может быть получено такой процедурой из представления $\widetilde{T}$ группы $\widetilde{G}$, то говорят, что представление $T$ линеаризуется на $\widetilde{G}$. Пусть $G$ - конечная группа. Тогда существует, вообще говоря, не единственное центральное расширение $\widetilde{G}$ группы $G$ с помощью нек-рой конечной абелевой группы $H$, на к-ром линеаризуются все неприводимые представления группы $G$. Напр., если $G=S_{n}-$ группа подстановок из $n$ элементов (симметрич. группа), то при $n>6$ группа $H$ оказывается группой из двух элементов. Любое проективное унитарное или конечномерное представление простой группы Ли $G$ линеаризуется на универсальной накрывающей группе $\widetilde{G}$ группы $G$ (в частности, если группа $G$ односвязна, то любое ее П. п. сводится к линейному). Любое унитарное представление $T$ группы Ли $G$ линеаризуется на нек-рой группе Ли $\widetilde{G}$ (она зависит от $T$). Ю. А. Неретин.