ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ

координаты, определяемые в трехмерном проективном пространстве пятью точками $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}, E$, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Точки $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ называются фундаментальными, или базисными. Точка $E$ называется единичной точкой системы П.к. Пусть $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ и $E$ имеют следующие однородные координаты: \[ \begin{gathered} O_{1}\left(a_{11}: a_{21}: a_{31}: a_{41}\right), o_{2}\left(a_{12}: a_{22}: a_{32}: a_{42}\right), \\ O_{3}\left(a_{13}: a_{23}: a_{33}: a_{43}\right), O_{4}\left(a_{14}: a_{24}: a_{34}: a_{44}\right), \\ E\left(e_{1}: e_{2}: e_{3}: e_{4}\right), \end{gathered} \] a произвольная точка $M$ - однородные координаты $M\left(x_{1}: x_{2}: x_{3}: x_{4}\right)$. Тогда П. к. точки $M$ относительно системы П. к. $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}, E$ будут числа $y_{1}: y_{2}: y_{3}: y_{4}$, определяемые из следующей системы уравнений: \[ \left.\begin{array}{l} \lambda x_{1}=a_{11} \lambda_{1} y_{1}+a_{12} \lambda_{2} y_{2}+a_{13} \lambda_{3} y_{3}+a_{14} \lambda_{4} y_{4} \\ \lambda x_{2}=a_{21} \lambda_{1} y_{1}+a_{22} \lambda_{2} y_{2}+a_{23} \lambda_{3} y_{3}+a_{24} \lambda_{4} y_{4} \\ \lambda x_{3}=a_{31} \lambda_{1} y_{1}+a_{32} \lambda_{2} y_{2}+a_{33} \lambda_{3} y_{3}+a_{34} \lambda_{4} y_{4} \\ \lambda x_{4}=a_{41} \lambda_{1} y_{1}+a_{42} \lambda_{2} y_{2}+a_{43} \lambda_{3} y_{3}+a_{44} \lambda_{4} y_{4} \end{array}\right\} \] где числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ определяются из системы уравнений \[ \left.\begin{array}{l} a_{11} \lambda_{1}+a_{12} \lambda_{2}+a_{13} \lambda_{3}+a_{14} \lambda_{4}=e_{1}, \\ a_{21} \lambda_{1}+a_{22} \lambda_{2}+a_{23} \lambda_{3}+a_{24} \lambda_{4}=e_{2}, \\ a_{31} \lambda_{1}+a_{32} \lambda_{2}+a_{33} \lambda_{3}+a_{34} \lambda_{4}=e_{3}, \\ a_{41} \lambda_{1}+a_{42} \lambda_{2}+a_{43} \lambda_{3}+a_{44} \lambda_{4}=e_{4} \end{array}\right\} \] Аналогичную конструкцию можно проделать и в $\boldsymbol{n}$-мерном пространстве.

координаты, определяемые в трехмерном проективном пространстве пятью точками $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}, E$, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Точки $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ называются фундаментальными, или базисными. Точка $E$ называется единичной точкой системы П.к. Пусть $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ и $E$ имеют следующие однородные координаты: \[ \begin{gathered} O_{1}\left(a_{11}: a_{21}: a_{31}: a_{41}\right), o_{2}\left(a_{12}: a_{22}: a_{32}: a_{42}\right), \\ O_{3}\left(a_{13}: a_{23}: a_{33}: a_{43}\right), O_{4}\left(a_{14}: a_{24}: a_{34}: a_{44}\right), \\ E\left(e_{1}: e_{2}: e_{3}: e_{4}\right), \end{gathered} \] a произвольная точка $M$ - однородные координаты $M\left(x_{1}: x_{2}: x_{3}: x_{4}\right)$. Тогда П. к. точки $M$ относительно системы П. к. $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}, E$ будут числа $y_{1}: y_{2}: y_{3}: y_{4}$, определяемые из следующей системы уравнений: \[ \left.\begin{array}{l} \lambda x_{1}=a_{11} \lambda_{1} y_{1}+a_{12} \lambda_{2} y_{2}+a_{13} \lambda_{3} y_{3}+a_{14} \lambda_{4} y_{4} \\ \lambda x_{2}=a_{21} \lambda_{1} y_{1}+a_{22} \lambda_{2} y_{2}+a_{23} \lambda_{3} y_{3}+a_{24} \lambda_{4} y_{4} \\ \lambda x_{3}=a_{31} \lambda_{1} y_{1}+a_{32} \lambda_{2} y_{2}+a_{33} \lambda_{3} y_{3}+a_{34} \lambda_{4} y_{4} \\ \lambda x_{4}=a_{41} \lambda_{1} y_{1}+a_{42} \lambda_{2} y_{2}+a_{43} \lambda_{3} y_{3}+a_{44} \lambda_{4} y_{4} \end{array}\right\} \] где числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ определяются из системы уравнений \[ \left.\begin{array}{l} a_{11} \lambda_{1}+a_{12} \lambda_{2}+a_{13} \lambda_{3}+a_{14} \lambda_{4}=e_{1}, \\ a_{21} \lambda_{1}+a_{22} \lambda_{2}+a_{23} \lambda_{3}+a_{24} \lambda_{4}=e_{2}, \\ a_{31} \lambda_{1}+a_{32} \lambda_{2}+a_{33} \lambda_{3}+a_{34} \lambda_{4}=e_{3}, \\ a_{41} \lambda_{1}+a_{42} \lambda_{2}+a_{43} \lambda_{3}+a_{44} \lambda_{4}=e_{4} \end{array}\right\} \] Аналогичную конструкцию можно проделать и в $\boldsymbol{n}$-мерном пространстве.