ПРОИЗВОДЯЩЕЕ СЕМЕЙСТВО

Функций $F(x, q)$, зависящих от переменной $x \in \mathbb{R}^{k}$ и параметра $q \in \mathbb{R}^{n}$, задает лагранжево многообразие \[ L=\left\{(p, q) \in \mathbb{R}^{2 n} \mid \exists x, \partial F / \partial x=0, p=\partial F / \partial q\right\}, \] если выполнено условие невырожденности: ранг матрицы $\left(\partial^{2} F / \partial x^{2}, \partial^{2} F / \partial x \partial q\right)$ максимально возможный. Обратно, росток любого лагранжевого многообразия задается ростком подходящего невырожденного П. с. Значение П. с. заключается в том, что классификация лагранжевых отображений с точностью до лагранжевой эквивалентности сводится $\mathrm{K}$ классификации П. с. функций с точностью до расслоенных вдоль $x$ замены координат $(x, q)$ и прибавления функции параметра $q$. Аналогично, лежандрово многообразие можно задавать производящим семейством гиперповерхностей $F(x, q)=0$ по формуле $L=\left\{([p], q) \in P T^{*} \mathbb{R}^{n} \cong P^{n-1} \times \mathbb{R}^{n} \mid \exists x, F=\partial F / \partial x=0, p=\partial F / \partial q\right\}$. М. Э. Казарян.

Функций $F(x, q)$, зависящих от переменной $x \in \mathbb{R}^{k}$ и параметра $q \in \mathbb{R}^{n}$, задает лагранжево многообразие \[ L=\left\{(p, q) \in \mathbb{R}^{2 n} \mid \exists x, \partial F / \partial x=0, p=\partial F / \partial q\right\}, \] если выполнено условие невырожденности: ранг матрицы $\left(\partial^{2} F / \partial x^{2}, \partial^{2} F / \partial x \partial q\right)$ максимально возможный. Обратно, росток любого лагранжевого многообразия задается ростком подходящего невырожденного П. с. Значение П. с. заключается в том, что классификация лагранжевых отображений с точностью до лагранжевой эквивалентности сводится $\mathrm{K}$ классификации П. с. функций с точностью до расслоенных вдоль $x$ замены координат $(x, q)$ и прибавления функции параметра $q$. Аналогично, лежандрово многообразие можно задавать производящим семейством гиперповерхностей $F(x, q)=0$ по формуле $L=\left\{([p], q) \in P T^{*} \mathbb{R}^{n} \cong P^{n-1} \times \mathbb{R}^{n} \mid \exists x, F=\partial F / \partial x=0, p=\partial F / \partial q\right\}$. М. Э. Казарян.