ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

модель физического мира, гладкое четырехмерное многообразие с гладкой (псевдо)метрикой - интервалом. В основе концепции П.-в. лежит понятие точечного события. Точечное событие моделируется точкой П.-в. и характеризуется четырьмя числами - координатами, одна из к-рых - временная, а три других - пространственные. Движение в П.-в. происходит по траекториям, к-рые называются мировыми линиями. Различают П.-в. специальной теории относительности, или пространство Минковского, и П.-в. общей теории относительности. Г. Минковский [1] заметил, что пространственно-временные свойства физич. явлений могут быть описаны как геометрич. свойства упомянутого П.-в. Эти свойства основаны на постулате о независимости скорости света $c$ в вакууме от движения источника и на принципе относительности А. Эйнштейна [2]. Существуют глобальные системы координат $t, x, y, z$, определяющие так наз. инерциальные системы отсчета, в к-рых интервал в любой точке пространства Минковского записывается в виде: \[ d s^{2}=c^{2} d t^{2}-d x^{2}-d y^{2}-d z^{2} \] и может иметь как положительное, так и нулевое и отрицательное значение. Точечное событие отвечает конкретным значениям времени $t$ и пространственных координат $x, y, z$. Переход к системе координат $\tilde{t}, \tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}$, характеризующих другую инерциальную систему отсчета, осуществляется при помощи Лоренца преобразований, при этом вид интервала (1) сохраняется в новых координатах. А. Эйнштейн первым связал физич. свойства гравитационного поля с геометрией 4-многообразия с интервалом \[ d s^{2}=g_{i j} d x^{i} d x^{j}, i, j=0,1,2,3 . \] При этом «потенциалами» гравитационного поля являются геометрич. характеристики П.-в.- компоненты метрич. тензора $g_{i j}$. Придать конкретный смысл четверке чисел - координат, моделирующих точечное событие, как это делается в пространстве Минковского, не представляется возможным. Этот факт лежит в основе принципа общей ковариантности, к-рый является своего рода обобщением принципа относительности Эйнштейна. Вопрос о структуре П.-в. тесно связан с вопросом о структуре нашей Вселенной, так как всякая адекватная модель должна удовлетворительным образом описывать реальный мир. Поэтому геометрич. свойства П.-в. должны определяться совокупностью физически приемлемых постулатов, основанных на экспериментальных данных. Часть постулатов, обеспечивающих характерные локальные свойства П.-в., являются общими для специальной и общей теории относительности, и поэтому основанием для их принятия служит экспериментальное подтверждение специальной теории относительности. Локальные свойства пространства-времени. Указать преобразование координат, приводящее метрику (2) к лоренцеву виду (1) во всем П.-в. возможно лишь в пространстве Минковского. В П.-в. общей теории относительности это можно сделать только в бесконечно малой окрестности любой точки (при этом можно занулить также и символы Кристоффеля в данной точке). Полученная таким образом локальная эквивалентность П.-в. специальной теории относительности является выражением принципа эквивалентности Эйнштейна (см. [3]), утверждающего равенство гравитационной и инертной масс. Полная эквивалентность гравитационного поля (в бесконечно малом объеме) и соответствующего ускорения системы отсчета проявляется в том, что локально гравитационное поле может быть устранено преобразованием координат так же, как и метрика в криволинейной (ускоренной) системе отсчета в П.-в. без тяготения может быть приведена к виду (1). Таким образом, локальные свойства искривленного П.-в. совпадают со свойствами пространства Минковского. Системы отсчета, в к-рых метрика имеет вид (1) и символы Кристоффеля равны нулю, называются свободно падающими. Уравнения для материальных полей должны быть такими, чтобы все взаимодействия, описываемые ими, распространялись по кривым, лежащим внутри или на поверхно- сти светового конуса, определяемого уравнением $d s=0$ в каждой точке П.-в. (локальная причинность). Компоненты метрич. тензора должны удовлетворять Эйнштейна уравнениям, получающимся из вариационного принципа, предложенного Д. Гильбертом [4]: \[ R_{i j}-\frac{1}{2} R g_{i j}=4 \pi T_{i j} \] где $R_{i j}$ - компоненты тензора Риччи, $R$ - скалярная кривизна, $T_{i j}-$ компоненты тензора энергии-импульса материи, обуславливающие влияние материальных полей на геометрию. К системе (3) необходимо добавить уравнения, к-рым подчиняются характеристики этих полей. Компоненты метрич. тензора пространства Минковского являются частным решением уравнений (3) в пустоте $\left(T_{i j}=0\right)$. Следствием уравнений (3) является локальный закон сохранения энергии-импульса \[ \nabla_{i} T^{i j}=0 \] Глобальные свойства пространства-времени. В настоящее время не существует экспериментов, в достаточной мере проливающих свет на свойства крупномасштабной структуры реальной Вселенной. В связи с этим изучение глобальной структуры П.-в. основывается на специфич. свойствах многообразий с лоренцевой метрикой (2), а также на нек-рых интуитивных представлениях о непрерывности П.-в. и причинности. Наиболее типичные глобальные свойства, характерные для различных классов физически важных (моделирующих ту или иную физич. ситуацию) решений уравнений (3) и соответствующих уравнений, описывающих материальные поля, основаны на приводимых ниже понятиях и определениях. Одним из самых важных свойств, присущих П.-в., является свойство пространственной и временной ориентируемости. П.-в. называется ориентируемым, если в каждой точке и непрерывно от точки к точке можно провести разделение времениподобных векторов на направленные в будущее и в прошлое, а ортогональных пространственноподобных триад - на левые и на правые. Два времениподобных вектора одинаково ориентированы (оба направлены в будущее или в прошлое), когда их скалярное произведение положительно. Все многообразия, имеющие топологию $\mathbb{R}^{4}$, напр., отвечают ориентируемому П.-в. В общей теории относительности таковыми являются, в частности, пространство Минковского, вселенная Казнера, открытая вселенная Фридмана, пространства, отвечающие решению Геделя и плосковолновым решениям. Любое односвязное П.-в. также является ориентируемым. В ориентируемом П.-в. для любой точки $A$ ее областью влияния будущего, или просто будущим, $I^{+}(A)$ называется множество всех точек, к-рым $A$ предшествует (см. Причинная структура). Областью влияния прошлого, или прошлым, $I^{-}(A)$ точки $A$ называется множество всех точек, к-рые предшествуют $A$. $I^{+}(A)$ и $I^{-}(A)$ являются открытыми множествами. Границей будущего $\partial I^{+}$(прошлого $\partial I^{-}$) любой точки является изотропная поверхность: для любой точки $B \in \partial I^{+}\left(B \in \partial I^{-}\right)$через эту точку проходит направленная в прошлое (будущее) нулевая геодезическая, целиком лежащая на этой границе и не имеющая конечных точек в прошлом (будущем), кроме, быть может, $A$. Примером будущего $I^{+}(A)$ для любой точки $A$ в пространстве Минковского может служить внутренность верхней половины светового конуса точки $A$, а прошлого $I^{-}(A)-$ внутренность нижней половины. Границей $\partial I^{ \pm}(A)$ является световой конус с вершиной в точке $A$ - изотропная поверхность. Существуют решения уравнения (3), содержащие области, где нарушается причинность, то есть имеются точки, к-рые предшествуют сами себе, и времениподобные кривые, проходящие через них, являются замкнутыми. Примерами таких решений служат П.-в. Геделя, П.-в. Тауба-Нут, продолженное П.-в. Керра. В теории относительности такие области считаются нефизичными. Более сильный вариант требования отсутствия замкнутых времениподобных мировых линий известен как условие сильной причинности: для любой точки П.-в. существуют сколь угодно малые ее окрестности такие, что ни одна времениподобная мировая линия не пересекает каждую из этих окрестностей более одного раза. П.-в. называется устойчиво причинным, если существует поле неисчезающего времениподобного вектора с компонентами $t_{a}$ такого, что П.-в. с метрикой $G_{a b}=g_{a b}+t_{a} t_{b}$, к-рая является лоренцевой, не допускает замкнутых времениподобных линий. Смысл данного определения заключается в том, что внутренность светового конуса для метрики $G_{a b}$ содержит световой конус для метрики $g_{a b}$ и поэтому множество мировых линий, к-рые являются времениподобными, расширяется. Для П.-в., имеющего замкнутые времениподобные и нулевые линии или не удовлетворяющего условию сильной причинности, нарушается также и устойчивая причинность. Любое компактное многообразие, напр., не может служить моделью устойчиво причинного П.-в. Этим объясняется тот факт, что компактное П.-в. редко рассматривается в теории относительности. Если П.-в. допускает глобальную временную функцию, то есть функцию, возрастающую вдоль любой непространственноподобной кривой при движении в будущее и имеющую времениподобный градиент, то оно является устойчиво причинным и наоборот (см. [5]). В устойчиво причинном П.-в. топология может быть введена при помощи окрестностей, являющихся пересечением открытых множеств $I^{+}(A)$ и $I^{-}(A)$ для любых точек $A$ и $B$, где $A$ предшествует $B$ (см. [5]). Наряду с понятием будущего (прошлого) для точки, важную роль в теории относительности играет понятие области зависимости будущего (прошлого) пространственноподобной поверхности $S$. Областью зависимости будущего $D^{+}(S)$ поверхности $S$ называется такая область П.-в., что каждая направленная в прошлое непродолжимая времениподобная мировая линия, проходящая через любую точку этой области, пересекает $S$. Физика в области зависимости будущего полностью определяется «начальными данными» на поверхности $S$. Область зависимости прошлого определяется аналогичным образом, с той лишь разницей, что слово «будущее» везде заменяется на «прошлое» и наоборот. Областью зависимости называется объединение областей зависимости будущего и прошлого. Области зависимости $D^{+}(S)$ и $D^{-}(S)$ замкнуты: каждая из них включает $S$. Примером области зависимости будущего может служить область зависимости будущего поверхности $t=0$ (плоскости) или верхней полости гиперболоида $t^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+1$ в пространстве Минковского. В первом случае $D^{+}(S)$ определяется неравенством $t \geqslant 0$, а во втором $-t \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}$. Более нетривиальный пример представляет собой область $D^{+}(S)$ для другой половины гиперболоида: она имеет границу в будущем и состоит из области П.-в., ограниченной поверхностью светового конуса и гиперболоида: $-\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \geqslant$ $\geqslant t \geqslant-\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}$ Если две точки $A$ и $B$ принадлежат внутренности области зависимости поверхности $S(A$ предшествует $B)$, то существует времениподобная геодезическая максимальной длины, соединяющая эти точки. Задача Коши для уравнений Эйнштейна (3) может быть сформулирована при помощи понятия области зависимости пространственноподобной поверхности $S$, а именно: если на $S$ задана 3-мерная метрика и материальные поля, подчиненные специальным ограничениям (см. [5]), то существует и единственно решение уравнений (3), определяющее П.-в. в максимальной области зависимости $D^{+}(S)$. Поверхность $S$ называется поверхностью Коши, если область $D^{+}(S) \cup D^{-}(S)$ совпадает со всем пространством. В качестве примера поверхности Коши можно привести поверхность $t=0$ в пространстве Минковского. Наличие поверхности Коши не является типичным для П.-в. Напр., такие важные решения (3), как максимально продолженные П.-в. Рейсснера - Нордстрема и П.-в. Керра, П.-в. Тауба-Нут и плосковолновые П.-в., не имеют поверхностей Коши. Если $S$ - поверхность Коши, то границы $D^{+}(S)$ и $D^{-}(S)-$ горизонты Коши - отсутствуют. Особую роль в теории относительности играет понятие асимптотически плоского П.-в., переходящего в пространство Минковского на бесконечности. В асимптотически плоском П.-в. появляется возможность определить энергию излученных гравитационных волн как разность масс источника до и после излучения. Г. Бонди (Н. Bondi) и Р. Сакс (R. Sachs) построили процедуру измерения соответствующих масс при помощи интегрирования по изотропным поверхностям (см., напр., [6]). Р. Пенроуз (R. Penrose) обобщил их результаты, предложив использовать свойства конформной границы (конформной бесконечности), к-рая образована начальными и конечными точками нулевых геодезических, для решения проблемы, где существенны асимптотич. свойства, напр. для изучения поведения безмассовых полей на бесконечности (см. [7]). Понятие конформной бесконечности используется также и в космологии (см. [7]). Типичным примером асимптотически плоского П.-в. является П.-в. черных дыр, в частности П.-в. Керра и П.-в. Шварцшильда. Последнее соответствует также полю тяготения вне сферически симметричного тела с интервалом \[ d s^{2}=\left(1-\frac{2 m}{r}\right) d t^{2}-\left(1-\frac{2 m}{r}\right)^{-1} d r^{2}-r^{2}\left(d \theta^{2}+\sin ^{2} \theta d \varphi^{2}\right) . \] Вследствие принципа общей ковариантности допустима любая гладкая замена координат, в частности: \[ x=\frac{1}{r}, \quad u=t-r-2 m \ln (r-2 m) . \] В координатах $u, x, \varphi, \theta$ интервал (4) примет вид: \[ \cdot d s^{2}=x^{-2}\left(-2 d u d x+x^{2}(1-2 m x) d u^{2}-d \theta^{2}-\sin ^{2} \theta d \varphi^{2}\right) . \] Исходное многообразие может быть расширено за счет присоединения к нему конформной границы $x=0$. В карте (4) эти точки будут принадлежать конформной бесконечности будущего $J^{+}$. Если заменить в (4) $t$ на $-t$, получится аналогично граница $J^{-}$. Конформный множитель $\Omega=x$, его градиент в метрике (5) изотропен. Метрика $\Omega^{2} d s^{2}$ регулярна всюду, в том числе и на конформной бесконечности. Важным свойством ряда асимптотически плоских полей является наличие в соответствующем П.-в. области, из к-рой наблюдатель, движущийся по непространственноподобной кривой, не может попасть на бесконечность $J^{+}$. Граница этой области называется горизонтом событий, или просто горизонтом. Горизонт представляет собой изотропную поверхность и является границей прошлого конформной бесконечности будущего $J^{+}$. П.-в., имеющее горизонт, называется черной дырой. Аффинному параметру вдоль нулевых образующих горизонта соответствует параметр «времени» $\tau$, возрастающий с возрастанием аффинного параметра $\left(l^{a} \tau_{a}>0, l^{a}-\right.$ компоненты вектора, касательного к нулевым образующим горизонта). «Время» $\tau$ параметризует семейство пространственноподобных поверхностей, пересечение к-рых с горизонтом $\mathrm{H}^{+}$образует границу черной дыры в фиксированный момент времени. Внешность горизонта называется областью внешних сношений. В симметричных по времени решениях (3) при замене знака времени черная дыра превращается в белую дыру - П.-в., обладающее границей будущего $H^{-}$ конформной бесконечности прошлого $J^{-}$. В общем случае наличие черной и белой дыры (а значит, и двух горизонтов $\mathrm{H}^{+}$и $\mathrm{H}^{-}$) область внешних сношений является пересечением областей прошлого $J^{+}$и будущего $J^{-}$, то есть находится вне обоих горизонтов. В физически реалистичных ситуациях гравитационного коллапса области П.-в., соответствующие белым дырам, отсутствуют. Изучение свойств П.-в. составляет предмет специальной и общей теории относительности. Так как современная наука располагает малым количеством экспериментов для подтверждения общей теории относительности, упомянутые свойства могут иметь пока лишь предсказательную силу для крупномасштабных эффектов и физич. явлений в сильных гравитационных полях. Что касается пространства Минковского, то его свойства лежат в основе теорий, в к-рых рассматриваются движения с релятивистскими скоростями: классич. и квантовой электродинамики, теории сильного и слабого взаимодействия; они нашли свое подтверждение в эксперименте. На свойствах П.-в. с усложненной по сравнению с П.-в. теории относительности структурой основаны многие активно развивающиеся в настоящее время теории гравитации. В частности, при описании релятивистской сплошной среды рассматривается связь между спиновыми свойствами вещества и кручением П.-в. (см. [8]). П.-в. с кручением составляет предмет изучения также и в супергравитации (см. [9]) - теории с дополнительными локальными симметриями между бозонами и фермионами, где кручение П.-в. проявляется в результате наличия поля спина $3 / 2$. Кроме того, рассматриваются теории, где используются модели П.-в. большего числа измерений (см. [10]). Лит.: [1] Minkowski H., «Phys. Z.», 1909, Bd 10, S. 104-11; [2] Einstein A., "Ann. Phys.", 1905, Bd 17, S. 891-921; [3] Эйнштейн А., Собрание научных трудов, т. 1, пер. с нем., М., 1965, c. 452-504; [4] Hilbert D., "Nachr. Gesellschaft Wiss. Göttingen. Math.-phys. Klasse», 1915, № 3, S. 395; [5] Хокинг С., Эллис Дж., Крупномасштабная структура пространства-времени, пер. с англ., М., 1977; [6] Sachs R., "Proc. Roy. Soc.», 1962, v. A270, № 1340, p. 103-26; [7] Пенроуз Р., Структура пространства-времени, пер. с англ., М., 1972; [8] Trautman A., «Sympos. Math.», 1972, v. 12, p. 139-62; [9] Deser S., Zumino B., "Phys. Lett.», 1976, v. B 62, № 3, p. 335-37; [10] Владимиров Ю. С., Системы отсчета в теории гравитации, М., 1982; [11] Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж., Гравитация, пер. с англ., т. 1-3, М., 1977; [12] Бим Дж., Эрлих П., Глобальная лоренцева геометрия, пер. с англ., М., 1985. А. Т. Ильичев.

модель физического мира, гладкое четырехмерное многообразие с гладкой (псевдо)метрикой - интервалом. В основе концепции П.-в. лежит понятие точечного события. Точечное событие моделируется точкой П.-в. и характеризуется четырьмя числами - координатами, одна из к-рых - временная, а три других - пространственные. Движение в П.-в. происходит по траекториям, к-рые называются мировыми линиями. Различают П.-в. специальной теории относительности, или пространство Минковского, и П.-в. общей теории относительности. Г. Минковский [1] заметил, что пространственно-временные свойства физич. явлений могут быть описаны как геометрич. свойства упомянутого П.-в. Эти свойства основаны на постулате о независимости скорости света $c$ в вакууме от движения источника и на принципе относительности А. Эйнштейна [2]. Существуют глобальные системы координат $t, x, y, z$, определяющие так наз. инерциальные системы отсчета, в к-рых интервал в любой точке пространства Минковского записывается в виде: \[ d s^{2}=c^{2} d t^{2}-d x^{2}-d y^{2}-d z^{2} \] и может иметь как положительное, так и нулевое и отрицательное значение. Точечное событие отвечает конкретным значениям времени $t$ и пространственных координат $x, y, z$. Переход к системе координат $\tilde{t}, \tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}$, характеризующих другую инерциальную систему отсчета, осуществляется при помощи Лоренца преобразований, при этом вид интервала (1) сохраняется в новых координатах. А. Эйнштейн первым связал физич. свойства гравитационного поля с геометрией 4-многообразия с интервалом \[ d s^{2}=g_{i j} d x^{i} d x^{j}, i, j=0,1,2,3 . \] При этом «потенциалами» гравитационного поля являются геометрич. характеристики П.-в.- компоненты метрич. тензора $g_{i j}$. Придать конкретный смысл четверке чисел - координат, моделирующих точечное событие, как это делается в пространстве Минковского, не представляется возможным. Этот факт лежит в основе принципа общей ковариантности, к-рый является своего рода обобщением принципа относительности Эйнштейна. Вопрос о структуре П.-в. тесно связан с вопросом о структуре нашей Вселенной, так как всякая адекватная модель должна удовлетворительным образом описывать реальный мир. Поэтому геометрич. свойства П.-в. должны определяться совокупностью физически приемлемых постулатов, основанных на экспериментальных данных. Часть постулатов, обеспечивающих характерные локальные свойства П.-в., являются общими для специальной и общей теории относительности, и поэтому основанием для их принятия служит экспериментальное подтверждение специальной теории относительности. Локальные свойства пространства-времени. Указать преобразование координат, приводящее метрику (2) к лоренцеву виду (1) во всем П.-в. возможно лишь в пространстве Минковского. В П.-в. общей теории относительности это можно сделать только в бесконечно малой окрестности любой точки (при этом можно занулить также и символы Кристоффеля в данной точке). Полученная таким образом локальная эквивалентность П.-в. специальной теории относительности является выражением принципа эквивалентности Эйнштейна (см. [3]), утверждающего равенство гравитационной и инертной масс. Полная эквивалентность гравитационного поля (в бесконечно малом объеме) и соответствующего ускорения системы отсчета проявляется в том, что локально гравитационное поле может быть устранено преобразованием координат так же, как и метрика в криволинейной (ускоренной) системе отсчета в П.-в. без тяготения может быть приведена к виду (1). Таким образом, локальные свойства искривленного П.-в. совпадают со свойствами пространства Минковского. Системы отсчета, в к-рых метрика имеет вид (1) и символы Кристоффеля равны нулю, называются свободно падающими. Уравнения для материальных полей должны быть такими, чтобы все взаимодействия, описываемые ими, распространялись по кривым, лежащим внутри или на поверхно- сти светового конуса, определяемого уравнением $d s=0$ в каждой точке П.-в. (локальная причинность). Компоненты метрич. тензора должны удовлетворять Эйнштейна уравнениям, получающимся из вариационного принципа, предложенного Д. Гильбертом [4]: \[ R_{i j}-\frac{1}{2} R g_{i j}=4 \pi T_{i j} \] где $R_{i j}$ - компоненты тензора Риччи, $R$ - скалярная кривизна, $T_{i j}-$ компоненты тензора энергии-импульса материи, обуславливающие влияние материальных полей на геометрию. К системе (3) необходимо добавить уравнения, к-рым подчиняются характеристики этих полей. Компоненты метрич. тензора пространства Минковского являются частным решением уравнений (3) в пустоте $\left(T_{i j}=0\right)$. Следствием уравнений (3) является локальный закон сохранения энергии-импульса \[ \nabla_{i} T^{i j}=0 \] Глобальные свойства пространства-времени. В настоящее время не существует экспериментов, в достаточной мере проливающих свет на свойства крупномасштабной структуры реальной Вселенной. В связи с этим изучение глобальной структуры П.-в. основывается на специфич. свойствах многообразий с лоренцевой метрикой (2), а также на нек-рых интуитивных представлениях о непрерывности П.-в. и причинности. Наиболее типичные глобальные свойства, характерные для различных классов физически важных (моделирующих ту или иную физич. ситуацию) решений уравнений (3) и соответствующих уравнений, описывающих материальные поля, основаны на приводимых ниже понятиях и определениях. Одним из самых важных свойств, присущих П.-в., является свойство пространственной и временной ориентируемости. П.-в. называется ориентируемым, если в каждой точке и непрерывно от точки к точке можно провести разделение времениподобных векторов на направленные в будущее и в прошлое, а ортогональных пространственноподобных триад - на левые и на правые. Два времениподобных вектора одинаково ориентированы (оба направлены в будущее или в прошлое), когда их скалярное произведение положительно. Все многообразия, имеющие топологию $\mathbb{R}^{4}$, напр., отвечают ориентируемому П.-в. В общей теории относительности таковыми являются, в частности, пространство Минковского, вселенная Казнера, открытая вселенная Фридмана, пространства, отвечающие решению Геделя и плосковолновым решениям. Любое односвязное П.-в. также является ориентируемым. В ориентируемом П.-в. для любой точки $A$ ее областью влияния будущего, или просто будущим, $I^{+}(A)$ называется множество всех точек, к-рым $A$ предшествует (см. Причинная структура). Областью влияния прошлого, или прошлым, $I^{-}(A)$ точки $A$ называется множество всех точек, к-рые предшествуют $A$. $I^{+}(A)$ и $I^{-}(A)$ являются открытыми множествами. Границей будущего $\partial I^{+}$(прошлого $\partial I^{-}$) любой точки является изотропная поверхность: для любой точки $B \in \partial I^{+}\left(B \in \partial I^{-}\right)$через эту точку проходит направленная в прошлое (будущее) нулевая геодезическая, целиком лежащая на этой границе и не имеющая конечных точек в прошлом (будущем), кроме, быть может, $A$. Примером будущего $I^{+}(A)$ для любой точки $A$ в пространстве Минковского может служить внутренность верхней половины светового конуса точки $A$, а прошлого $I^{-}(A)-$ внутренность нижней половины. Границей $\partial I^{ \pm}(A)$ является световой конус с вершиной в точке $A$ - изотропная поверхность. Существуют решения уравнения (3), содержащие области, где нарушается причинность, то есть имеются точки, к-рые предшествуют сами себе, и времениподобные кривые, проходящие через них, являются замкнутыми. Примерами таких решений служат П.-в. Геделя, П.-в. Тауба-Нут, продолженное П.-в. Керра. В теории относительности такие области считаются нефизичными. Более сильный вариант требования отсутствия замкнутых времениподобных мировых линий известен как условие сильной причинности: для любой точки П.-в. существуют сколь угодно малые ее окрестности такие, что ни одна времениподобная мировая линия не пересекает каждую из этих окрестностей более одного раза. П.-в. называется устойчиво причинным, если существует поле неисчезающего времениподобного вектора с компонентами $t_{a}$ такого, что П.-в. с метрикой $G_{a b}=g_{a b}+t_{a} t_{b}$, к-рая является лоренцевой, не допускает замкнутых времениподобных линий. Смысл данного определения заключается в том, что внутренность светового конуса для метрики $G_{a b}$ содержит световой конус для метрики $g_{a b}$ и поэтому множество мировых линий, к-рые являются времениподобными, расширяется. Для П.-в., имеющего замкнутые времениподобные и нулевые линии или не удовлетворяющего условию сильной причинности, нарушается также и устойчивая причинность. Любое компактное многообразие, напр., не может служить моделью устойчиво причинного П.-в. Этим объясняется тот факт, что компактное П.-в. редко рассматривается в теории относительности. Если П.-в. допускает глобальную временную функцию, то есть функцию, возрастающую вдоль любой непространственноподобной кривой при движении в будущее и имеющую времениподобный градиент, то оно является устойчиво причинным и наоборот (см. [5]). В устойчиво причинном П.-в. топология может быть введена при помощи окрестностей, являющихся пересечением открытых множеств $I^{+}(A)$ и $I^{-}(A)$ для любых точек $A$ и $B$, где $A$ предшествует $B$ (см. [5]). Наряду с понятием будущего (прошлого) для точки, важную роль в теории относительности играет понятие области зависимости будущего (прошлого) пространственноподобной поверхности $S$. Областью зависимости будущего $D^{+}(S)$ поверхности $S$ называется такая область П.-в., что каждая направленная в прошлое непродолжимая времениподобная мировая линия, проходящая через любую точку этой области, пересекает $S$. Физика в области зависимости будущего полностью определяется «начальными данными» на поверхности $S$. Область зависимости прошлого определяется аналогичным образом, с той лишь разницей, что слово «будущее» везде заменяется на «прошлое» и наоборот. Областью зависимости называется объединение областей зависимости будущего и прошлого. Области зависимости $D^{+}(S)$ и $D^{-}(S)$ замкнуты: каждая из них включает $S$. Примером области зависимости будущего может служить область зависимости будущего поверхности $t=0$ (плоскости) или верхней полости гиперболоида $t^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+1$ в пространстве Минковского. В первом случае $D^{+}(S)$ определяется неравенством $t \geqslant 0$, а во втором $-t \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}$. Более нетривиальный пример представляет собой область $D^{+}(S)$ для другой половины гиперболоида: она имеет границу в будущем и состоит из области П.-в., ограниченной поверхностью светового конуса и гиперболоида: $-\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \geqslant$ $\geqslant t \geqslant-\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}$ Если две точки $A$ и $B$ принадлежат внутренности области зависимости поверхности $S(A$ предшествует $B)$, то существует времениподобная геодезическая максимальной длины, соединяющая эти точки. Задача Коши для уравнений Эйнштейна (3) может быть сформулирована при помощи понятия области зависимости пространственноподобной поверхности $S$, а именно: если на $S$ задана 3-мерная метрика и материальные поля, подчиненные специальным ограничениям (см. [5]), то существует и единственно решение уравнений (3), определяющее П.-в. в максимальной области зависимости $D^{+}(S)$. Поверхность $S$ называется поверхностью Коши, если область $D^{+}(S) \cup D^{-}(S)$ совпадает со всем пространством. В качестве примера поверхности Коши можно привести поверхность $t=0$ в пространстве Минковского. Наличие поверхности Коши не является типичным для П.-в. Напр., такие важные решения (3), как максимально продолженные П.-в. Рейсснера - Нордстрема и П.-в. Керра, П.-в. Тауба-Нут и плосковолновые П.-в., не имеют поверхностей Коши. Если $S$ - поверхность Коши, то границы $D^{+}(S)$ и $D^{-}(S)-$ горизонты Коши - отсутствуют. Особую роль в теории относительности играет понятие асимптотически плоского П.-в., переходящего в пространство Минковского на бесконечности. В асимптотически плоском П.-в. появляется возможность определить энергию излученных гравитационных волн как разность масс источника до и после излучения. Г. Бонди (Н. Bondi) и Р. Сакс (R. Sachs) построили процедуру измерения соответствующих масс при помощи интегрирования по изотропным поверхностям (см., напр., [6]). Р. Пенроуз (R. Penrose) обобщил их результаты, предложив использовать свойства конформной границы (конформной бесконечности), к-рая образована начальными и конечными точками нулевых геодезических, для решения проблемы, где существенны асимптотич. свойства, напр. для изучения поведения безмассовых полей на бесконечности (см. [7]). Понятие конформной бесконечности используется также и в космологии (см. [7]). Типичным примером асимптотически плоского П.-в. является П.-в. черных дыр, в частности П.-в. Керра и П.-в. Шварцшильда. Последнее соответствует также полю тяготения вне сферически симметричного тела с интервалом \[ d s^{2}=\left(1-\frac{2 m}{r}\right) d t^{2}-\left(1-\frac{2 m}{r}\right)^{-1} d r^{2}-r^{2}\left(d \theta^{2}+\sin ^{2} \theta d \varphi^{2}\right) . \] Вследствие принципа общей ковариантности допустима любая гладкая замена координат, в частности: \[ x=\frac{1}{r}, \quad u=t-r-2 m \ln (r-2 m) . \] В координатах $u, x, \varphi, \theta$ интервал (4) примет вид: \[ \cdot d s^{2}=x^{-2}\left(-2 d u d x+x^{2}(1-2 m x) d u^{2}-d \theta^{2}-\sin ^{2} \theta d \varphi^{2}\right) . \] Исходное многообразие может быть расширено за счет присоединения к нему конформной границы $x=0$. В карте (4) эти точки будут принадлежать конформной бесконечности будущего $J^{+}$. Если заменить в (4) $t$ на $-t$, получится аналогично граница $J^{-}$. Конформный множитель $\Omega=x$, его градиент в метрике (5) изотропен. Метрика $\Omega^{2} d s^{2}$ регулярна всюду, в том числе и на конформной бесконечности. Важным свойством ряда асимптотически плоских полей является наличие в соответствующем П.-в. области, из к-рой наблюдатель, движущийся по непространственноподобной кривой, не может попасть на бесконечность $J^{+}$. Граница этой области называется горизонтом событий, или просто горизонтом. Горизонт представляет собой изотропную поверхность и является границей прошлого конформной бесконечности будущего $J^{+}$. П.-в., имеющее горизонт, называется черной дырой. Аффинному параметру вдоль нулевых образующих горизонта соответствует параметр «времени» $\tau$, возрастающий с возрастанием аффинного параметра $\left(l^{a} \tau_{a}>0, l^{a}-\right.$ компоненты вектора, касательного к нулевым образующим горизонта). «Время» $\tau$ параметризует семейство пространственноподобных поверхностей, пересечение к-рых с горизонтом $\mathrm{H}^{+}$образует границу черной дыры в фиксированный момент времени. Внешность горизонта называется областью внешних сношений. В симметричных по времени решениях (3) при замене знака времени черная дыра превращается в белую дыру - П.-в., обладающее границей будущего $H^{-}$ конформной бесконечности прошлого $J^{-}$. В общем случае наличие черной и белой дыры (а значит, и двух горизонтов $\mathrm{H}^{+}$и $\mathrm{H}^{-}$) область внешних сношений является пересечением областей прошлого $J^{+}$и будущего $J^{-}$, то есть находится вне обоих горизонтов. В физически реалистичных ситуациях гравитационного коллапса области П.-в., соответствующие белым дырам, отсутствуют. Изучение свойств П.-в. составляет предмет специальной и общей теории относительности. Так как современная наука располагает малым количеством экспериментов для подтверждения общей теории относительности, упомянутые свойства могут иметь пока лишь предсказательную силу для крупномасштабных эффектов и физич. явлений в сильных гравитационных полях. Что касается пространства Минковского, то его свойства лежат в основе теорий, в к-рых рассматриваются движения с релятивистскими скоростями: классич. и квантовой электродинамики, теории сильного и слабого взаимодействия; они нашли свое подтверждение в эксперименте. На свойствах П.-в. с усложненной по сравнению с П.-в. теории относительности структурой основаны многие активно развивающиеся в настоящее время теории гравитации. В частности, при описании релятивистской сплошной среды рассматривается связь между спиновыми свойствами вещества и кручением П.-в. (см. [8]). П.-в. с кручением составляет предмет изучения также и в супергравитации (см. [9]) - теории с дополнительными локальными симметриями между бозонами и фермионами, где кручение П.-в. проявляется в результате наличия поля спина $3 / 2$. Кроме того, рассматриваются теории, где используются модели П.-в. большего числа измерений (см. [10]). Лит.: [1] Minkowski H., «Phys. Z.», 1909, Bd 10, S. 104-11; [2] Einstein A., "Ann. Phys.", 1905, Bd 17, S. 891-921; [3] Эйнштейн А., Собрание научных трудов, т. 1, пер. с нем., М., 1965, c. 452-504; [4] Hilbert D., "Nachr. Gesellschaft Wiss. Göttingen. Math.-phys. Klasse», 1915, № 3, S. 395; [5] Хокинг С., Эллис Дж., Крупномасштабная структура пространства-времени, пер. с англ., М., 1977; [6] Sachs R., "Proc. Roy. Soc.», 1962, v. A270, № 1340, p. 103-26; [7] Пенроуз Р., Структура пространства-времени, пер. с англ., М., 1972; [8] Trautman A., «Sympos. Math.», 1972, v. 12, p. 139-62; [9] Deser S., Zumino B., "Phys. Lett.», 1976, v. B 62, № 3, p. 335-37; [10] Владимиров Ю. С., Системы отсчета в теории гравитации, М., 1982; [11] Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж., Гравитация, пер. с англ., т. 1-3, М., 1977; [12] Бим Дж., Эрлих П., Глобальная лоренцева геометрия, пер. с англ., М., 1985. А. Т. Ильичев.