ПРЫГАЮЩИЙ МЯЧИК; АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

венные функции - приближенные, асимптотические при $k_{p q} \rightarrow \infty$, решения $u_{p q}(x)$ задачи на собственные функции оператора Лапласа $\Delta$ в ограниченной области $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ : \[ \Delta u_{p q}(x)+k_{p q}^{2} u_{p q}(x)=0, x \in \Omega, u_{p q} \mid \partial \Omega=0 \] сосредоточенные вблизи устойчивого диаметра $A B$ области $\Omega$. Вместо условия Дирихле (1) можно рассматривать и другие самосопряженные краевые условия. Отрезок $A B$, целиком лежащий в $\Omega$ с концами $A, B$, принадлежащими границе $\partial \Omega$ области $\Omega$, называется диаметром, если касательные к $\partial \Omega$ в точках $A$ и $B$ ортогональны $A B$. Диаметру $A B$ отвечает замкнутая биллиардная траектория $\gamma$ в $\Omega$, состоящая из двух звеньев $A B$ и $B A$. Диаметр называется устойчивым, если близкие к $\gamma$ биллиардные траектории при неограниченном продолжении остаются в малой окрестности $\gamma$. В этом случае собственные числа линейной части отображения Пуанкаре замкнутой траектории $\gamma$ имеют вид $\exp \left\{ \pm i \alpha_{j}\right\}, 1 \leqslant j \leqslant n-1$. Асимптотика соответствующих собственных чисел $k_{p q}$ оператора Лапласа выражается (при определенном выборе знаков у $\alpha_{j}$ ) следующей формулой: \[ k_{p q} \approx d^{-1}\left(\pi p+\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n-1}\left(q_{j}+\frac{1}{2}\right) \alpha_{j}\right) \] где $d$ - длина $A B, q_{j}$ - натуральные числа, причем $p \gg 1$. Показано (см. [1]) в случае $n=2$, что асимптотич. формула (2) справедлива с погрешностью порядка $p^{1-2 \varepsilon}$ при $p \rightarrow \infty$, если \[ q_{j} \leqslant \text { const } p^{1-\varepsilon}, \varepsilon \in(0,1) . \] С другой стороны, асимптотич. собственные функции П. м., вообще говоря, не аппроксимируют истинные собственные функции оператора Лапласа (см. [2]).

венные функции - приближенные, асимптотические при $k_{p q} \rightarrow \infty$, решения $u_{p q}(x)$ задачи на собственные функции оператора Лапласа $\Delta$ в ограниченной области $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ : \[ \Delta u_{p q}(x)+k_{p q}^{2} u_{p q}(x)=0, x \in \Omega, u_{p q} \mid \partial \Omega=0 \] сосредоточенные вблизи устойчивого диаметра $A B$ области $\Omega$. Вместо условия Дирихле (1) можно рассматривать и другие самосопряженные краевые условия. Отрезок $A B$, целиком лежащий в $\Omega$ с концами $A, B$, принадлежащими границе $\partial \Omega$ области $\Omega$, называется диаметром, если касательные к $\partial \Omega$ в точках $A$ и $B$ ортогональны $A B$. Диаметру $A B$ отвечает замкнутая биллиардная траектория $\gamma$ в $\Omega$, состоящая из двух звеньев $A B$ и $B A$. Диаметр называется устойчивым, если близкие к $\gamma$ биллиардные траектории при неограниченном продолжении остаются в малой окрестности $\gamma$. В этом случае собственные числа линейной части отображения Пуанкаре замкнутой траектории $\gamma$ имеют вид $\exp \left\{ \pm i \alpha_{j}\right\}, 1 \leqslant j \leqslant n-1$. Асимптотика соответствующих собственных чисел $k_{p q}$ оператора Лапласа выражается (при определенном выборе знаков у $\alpha_{j}$ ) следующей формулой: \[ k_{p q} \approx d^{-1}\left(\pi p+\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n-1}\left(q_{j}+\frac{1}{2}\right) \alpha_{j}\right) \] где $d$ - длина $A B, q_{j}$ - натуральные числа, причем $p \gg 1$. Показано (см. [1]) в случае $n=2$, что асимптотич. формула (2) справедлива с погрешностью порядка $p^{1-2 \varepsilon}$ при $p \rightarrow \infty$, если \[ q_{j} \leqslant \text { const } p^{1-\varepsilon}, \varepsilon \in(0,1) . \] С другой стороны, асимптотич. собственные функции П. м., вообще говоря, не аппроксимируют истинные собственные функции оператора Лапласа (см. [2]).