БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА СТАТИСТИКА, БОЗЕ-СТАТИСТИКА

квантовая статистика, применяемая к системам тождественных частиц с нулевым или целым спином (в единицах ћ). Предложена Ш. Бозе (Sh. Bose, 1924) для фотонов и обобщена А. Эйнштейном (A. Einstein, 1924) для одноатомного идеального газа. Характерная особенность Б.-Э. с. заключается в том, что в одном и том же квантовом состоянии может находиться любое число частиц. В. Паули (W. Pauli, 1940) доказал, что тип квантовой статистики однозначно связан со значением спина частиц, так что совокупности частиц с нулевым или целым спином (ядра с четным числом нуклонов, фотоны, $\pi$-мезоны и другие так наз. бозоны) подчиняются Б.-Э. с., а системы частиц с полуцелым спином (электроны, нуклоны, ядра с нечетным числом нуклонов и другие так наз. фермионы) подчиняются Ферми-Дирака статистике. При квантовомеханич. описании состояние системы описывается волновой функцией, к-рая в случае тождественных частиц либо симметрична по отношению к перестановкам любой пары частиц (для частиц с целым или нулевым спином), либо антисимметрична (для частиц с полуцелым спином). Для системы частиц, подчиняющихся Б.-Э. с., состояния описываются симметричными функциями, что является другой, эквивалентной формулировкой Б.-Э. с. Подобные системы называются бозе-системами, напр. бозе-газ - газ из частиц, подчиняющихся Б.-Э. с. Для идеального бозе-газа среднее число частиц $\bar{n}_{i}$ в состоянии $i$ определяется Бозе-Эйнштейна распределением. Формула для $\bar{n}_{i}$ следует из Гиббса распределения для идеального квантового газа с уровнями энергии \[ E_{n}=\sum_{i} E_{i} n_{i} \] где $n_{i}$ согласно Б.-Э. с. могут принимать лишь значения $0,1,2, \ldots$ Распределение Бозе-Эйнштейна можно получить другим методом, если рассматривать статистически равновесное состояние квантового идеального газа как наиболее вероятное состояние и с помощью комбинаторики, учитывая неразличимость частиц, найти термодинамич. вероятность (статистический вес) такого состояния, то есть число способов реализации данного квантового состояния газа с заданной энергией $E$ и числом частиц $N$. Для больших систем, когда $N$ велико, уровни энергии расположены очень плотно и стремятся к непрерывному распределению при стремлении числа частиц и объема к бесконечности. Пусть уровни сгруппированы по малым ячейкам, содержащим $G_{i}$ уровней в ячейке, число $G_{i}$ предполагается очень большим. Каждой $i$-й ячейке соответствует средняя энергия $E_{i}$ и число частиц $N_{i}$. Состояние системы определяется набором чисел $N_{i}$, где $N_{i}$ - сумма $n_{i}$ по уровням ячейки. Для Б.-Э. с. атомы предполагаются неразличимыми и в каждой ячейке может находиться произвольное число частиц. Поэтому статистич. вес $W\left(N_{i}\right)$ равен числу различных распределений частиц по ячейкам: \[ W\left(N_{i}\right)=\prod_{i} \frac{\left(G_{i}+N_{i}-1\right) !}{N_{i} !\left(G_{i}-1\right) !}, \] он определяет вероятность распределения частиц по ячейкам. Энтропия такого состояния равна \[ S=k \ln W \] где $k$ - постоянная Больцмана. Наиболее вероятному состоянию соответствует максимум энтропии (при заданных $E=\sum_{i} E_{i} N_{i}$ и $N=\sum_{i} N_{i}$ ) распределения Бозе-Эйнштейна \[ \bar{n}_{i}=\frac{\bar{N}_{i}}{G_{i}}=\left[\exp \left(\left(E_{i}-\mu\right) / k T\right)-1\right]^{-1}, \] где $\mu$ - химич. потенциал, определяемый из условия, что сумма всех $n_{i}$ равна полному числу частиц в системе. Энтропия идеального газа, подчиняющегося Б.-Э. с., равна \[ S=\sum_{i} G_{i}\left[\left(1+\bar{n}_{i}\right) \ln \left(1+\bar{n}_{i}\right)-\bar{n}_{i} \ln \bar{n}_{i}\right] . \] Тепловые колебания кристаллич. решетки твердого тела описываются как возбуждения совокупности осцилляторов, соответствующих ее нормальным колебаниям. Их можно рассматривать как идеальный газ квазичастиц фононов, подчиняющихся Б.-Э. с. На основании этого представления удается правильно описать поведение твердых тел при низких температурах. К важным приложениям Б.-Э. с. относится теория излучения черного тела, опирающаяся на представление о квантах электромагнитного поля - фотонах. Последние подчиняются Б.-Э. с.: в этом случае $\mu=0$, $E_{i}=h v(v-$ частота равновесного излучения в полости объема $V$ ). При этом распределение Бозе-Эйнштейна дает Планка закон излучения для спектрального распределения энергии излучения абсолютно черного тела. Б.-Э. с. для системы взаимодействующих частиц основана на методе Гиббса для квантовых систем. Она может быть реализована, если известны квантовые уровни системы $E_{n}$ и может быть вычислена статистич. сумма \[ Z=\sum_{n} \exp \left(E_{n} / k T\right), \] где суммирование ведется по всем квантовым уровням $\boldsymbol{n}$ системы для состояний, удовлетворяющих условиям квантовой симметрии. Последнее условие определяет тип квантовой статистики. Задача вычисления $Z$ не сводится к простой комбинаторной задаче и очень сложна, если взаимодействие между частицами не мало. Ее можно несколько упростить, если выразить гамильтониан системы в представлении вторичного квантования (в представлении чисел заполнения квантовых уровней) через операторы вторичного квантования $\psi(x)$ и $\psi^{+}(x)$, удовлетворяющие перестановочным соотношениям Б.-Э. с. \[ \psi(x) \psi^{+}\left(x^{\prime}\right)-\psi^{+}\left(x^{\prime}\right) \psi(x)=\delta\left(x-x^{\prime}\right), \] где $\delta\left(x-x^{\prime}\right)$ - дельта-функция. Тогда требования Б.-Э. с. оказываются выполненными и в статистич. сумме будут учитываться лишь симметричные состояния. Но в такой постановке задача вычисления статистич. суммы, а следовательно, и термодинамич. функций очень сложна и допускает приближенное решение лишь для слабо взаимодействующих систем (слабоидеальный бозе-газ) (см. [4]-[7]). Лит.: [1] Bose S., «Z. Phys.», 1924, Bd 27, S. 384-92; [2] Эйнштейн А., Собрание научных трудов, т. 3, М., 1966 (там же в Приложении ст. Бозе Ш.- [1]); [3] Паули В., Релятивистская теория элементарных частиц, пер. с англ., М., 1947 (в Дополнении ст. Pauli W., «Phys. Rev.», 1940, v. 58, p. 716-22); [4] Майер Дж., Гепперт-Майер М., Статистическая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1980; [5] Исихара А., Статистическая физика, пер. с англ., 2 изд., М., 1973; [6] Боголюбов Н. Н., Лекции по квантовой статистике, Избранные труды, т. 2, Киев, 1970; [7] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, 3 изд., ч. 1, $\begin{array}{ll}\text { М., 1976. } & \text { Д. Н. Зубарев. }\end{array}$

квантовая статистика, применяемая к системам тождественных частиц с нулевым или целым спином (в единицах ћ). Предложена Ш. Бозе (Sh. Bose, 1924) для фотонов и обобщена А. Эйнштейном (A. Einstein, 1924) для одноатомного идеального газа. Характерная особенность Б.-Э. с. заключается в том, что в одном и том же квантовом состоянии может находиться любое число частиц. В. Паули (W. Pauli, 1940) доказал, что тип квантовой статистики однозначно связан со значением спина частиц, так что совокупности частиц с нулевым или целым спином (ядра с четным числом нуклонов, фотоны, $\pi$-мезоны и другие так наз. бозоны) подчиняются Б.-Э. с., а системы частиц с полуцелым спином (электроны, нуклоны, ядра с нечетным числом нуклонов и другие так наз. фермионы) подчиняются Ферми-Дирака статистике. При квантовомеханич. описании состояние системы описывается волновой функцией, к-рая в случае тождественных частиц либо симметрична по отношению к перестановкам любой пары частиц (для частиц с целым или нулевым спином), либо антисимметрична (для частиц с полуцелым спином). Для системы частиц, подчиняющихся Б.-Э. с., состояния описываются симметричными функциями, что является другой, эквивалентной формулировкой Б.-Э. с. Подобные системы называются бозе-системами, напр. бозе-газ - газ из частиц, подчиняющихся Б.-Э. с. Для идеального бозе-газа среднее число частиц $\bar{n}_{i}$ в состоянии $i$ определяется Бозе-Эйнштейна распределением. Формула для $\bar{n}_{i}$ следует из Гиббса распределения для идеального квантового газа с уровнями энергии \[ E_{n}=\sum_{i} E_{i} n_{i} \] где $n_{i}$ согласно Б.-Э. с. могут принимать лишь значения $0,1,2, \ldots$ Распределение Бозе-Эйнштейна можно получить другим методом, если рассматривать статистически равновесное состояние квантового идеального газа как наиболее вероятное состояние и с помощью комбинаторики, учитывая неразличимость частиц, найти термодинамич. вероятность (статистический вес) такого состояния, то есть число способов реализации данного квантового состояния газа с заданной энергией $E$ и числом частиц $N$. Для больших систем, когда $N$ велико, уровни энергии расположены очень плотно и стремятся к непрерывному распределению при стремлении числа частиц и объема к бесконечности. Пусть уровни сгруппированы по малым ячейкам, содержащим $G_{i}$ уровней в ячейке, число $G_{i}$ предполагается очень большим. Каждой $i$-й ячейке соответствует средняя энергия $E_{i}$ и число частиц $N_{i}$. Состояние системы определяется набором чисел $N_{i}$, где $N_{i}$ - сумма $n_{i}$ по уровням ячейки. Для Б.-Э. с. атомы предполагаются неразличимыми и в каждой ячейке может находиться произвольное число частиц. Поэтому статистич. вес $W\left(N_{i}\right)$ равен числу различных распределений частиц по ячейкам: \[ W\left(N_{i}\right)=\prod_{i} \frac{\left(G_{i}+N_{i}-1\right) !}{N_{i} !\left(G_{i}-1\right) !}, \] он определяет вероятность распределения частиц по ячейкам. Энтропия такого состояния равна \[ S=k \ln W \] где $k$ - постоянная Больцмана. Наиболее вероятному состоянию соответствует максимум энтропии (при заданных $E=\sum_{i} E_{i} N_{i}$ и $N=\sum_{i} N_{i}$ ) распределения Бозе-Эйнштейна \[ \bar{n}_{i}=\frac{\bar{N}_{i}}{G_{i}}=\left[\exp \left(\left(E_{i}-\mu\right) / k T\right)-1\right]^{-1}, \] где $\mu$ - химич. потенциал, определяемый из условия, что сумма всех $n_{i}$ равна полному числу частиц в системе. Энтропия идеального газа, подчиняющегося Б.-Э. с., равна \[ S=\sum_{i} G_{i}\left[\left(1+\bar{n}_{i}\right) \ln \left(1+\bar{n}_{i}\right)-\bar{n}_{i} \ln \bar{n}_{i}\right] . \] Тепловые колебания кристаллич. решетки твердого тела описываются как возбуждения совокупности осцилляторов, соответствующих ее нормальным колебаниям. Их можно рассматривать как идеальный газ квазичастиц фононов, подчиняющихся Б.-Э. с. На основании этого представления удается правильно описать поведение твердых тел при низких температурах. К важным приложениям Б.-Э. с. относится теория излучения черного тела, опирающаяся на представление о квантах электромагнитного поля - фотонах. Последние подчиняются Б.-Э. с.: в этом случае $\mu=0$, $E_{i}=h v(v-$ частота равновесного излучения в полости объема $V$ ). При этом распределение Бозе-Эйнштейна дает Планка закон излучения для спектрального распределения энергии излучения абсолютно черного тела. Б.-Э. с. для системы взаимодействующих частиц основана на методе Гиббса для квантовых систем. Она может быть реализована, если известны квантовые уровни системы $E_{n}$ и может быть вычислена статистич. сумма \[ Z=\sum_{n} \exp \left(E_{n} / k T\right), \] где суммирование ведется по всем квантовым уровням $\boldsymbol{n}$ системы для состояний, удовлетворяющих условиям квантовой симметрии. Последнее условие определяет тип квантовой статистики. Задача вычисления $Z$ не сводится к простой комбинаторной задаче и очень сложна, если взаимодействие между частицами не мало. Ее можно несколько упростить, если выразить гамильтониан системы в представлении вторичного квантования (в представлении чисел заполнения квантовых уровней) через операторы вторичного квантования $\psi(x)$ и $\psi^{+}(x)$, удовлетворяющие перестановочным соотношениям Б.-Э. с. \[ \psi(x) \psi^{+}\left(x^{\prime}\right)-\psi^{+}\left(x^{\prime}\right) \psi(x)=\delta\left(x-x^{\prime}\right), \] где $\delta\left(x-x^{\prime}\right)$ - дельта-функция. Тогда требования Б.-Э. с. оказываются выполненными и в статистич. сумме будут учитываться лишь симметричные состояния. Но в такой постановке задача вычисления статистич. суммы, а следовательно, и термодинамич. функций очень сложна и допускает приближенное решение лишь для слабо взаимодействующих систем (слабоидеальный бозе-газ) (см. [4]-[7]). Лит.: [1] Bose S., «Z. Phys.», 1924, Bd 27, S. 384-92; [2] Эйнштейн А., Собрание научных трудов, т. 3, М., 1966 (там же в Приложении ст. Бозе Ш.- [1]); [3] Паули В., Релятивистская теория элементарных частиц, пер. с англ., М., 1947 (в Дополнении ст. Pauli W., «Phys. Rev.», 1940, v. 58, p. 716-22); [4] Майер Дж., Гепперт-Майер М., Статистическая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1980; [5] Исихара А., Статистическая физика, пер. с англ., 2 изд., М., 1973; [6] Боголюбов Н. Н., Лекции по квантовой статистике, Избранные труды, т. 2, Киев, 1970; [7] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, 3 изд., ч. 1, $\begin{array}{ll}\text { М., 1976. } & \text { Д. Н. Зубарев. }\end{array}$