ПУАНКАРЕ ИНДЕКС ОСОБОЙ ТОЧКИ

топологический инвариант изолированной особой точки $O$ непрерывного векторного поля $\boldsymbol{V}$ на $n$-мерном многообразии $M$, равный, по определению, степени отображения $f: S \rightarrow S$, заданного формулой \[ f(x)=\rho V(x) /|V(x)|, \] где $x$ - система локальных координат на $M$ с центром в $O$, а $S-$ сфера $|x|=\rho$ достаточно малого радиуса $\rho$. П. и. особой точки $O$ поля $V$ на плоскости $(n=2)$ совпадает с числом оборотов вектора $V$ при обходе вокруг $O$ по окружности достаточно малого радиуса. П. и. невырожденной особой точки $O$ гладкого векторного поля $V$ равен $\operatorname{sign}\left(\lambda_{1} \lambda_{2} \ldots \lambda_{n}\right)$, где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ - собственные числа линеаризации поля $\boldsymbol{V}$ в $\boldsymbol{O}$. В частности, при $n=2$ П. и. узла, фокуса, центра и центро-фокуса равен 1, а П. и. седла равен -1. Понятие индекса особой точки, введенное А. Пуанкаре в 1886 (см. [1]) (только для невырожденных особых точек), восходит, так же как и более общее понятие степени отображения, к так наз. характеристике Кронекера системы функций (см. [2]), поэтому П. и. часто называют индексом Кронекера - Пуанкаре (см. [6]). Если все особые точки векторного поля $\boldsymbol{V}$ на компактном многообразии без края изолированы, то сумма их П. и. не зависит от $V$ и равна эйлеровой характеристике многообразия (теорема Пуанкаре, или теорема Пуанкаре - Хопфа).

топологический инвариант изолированной особой точки $O$ непрерывного векторного поля $\boldsymbol{V}$ на $n$-мерном многообразии $M$, равный, по определению, степени отображения $f: S \rightarrow S$, заданного формулой \[ f(x)=\rho V(x) /|V(x)|, \] где $x$ - система локальных координат на $M$ с центром в $O$, а $S-$ сфера $|x|=\rho$ достаточно малого радиуса $\rho$. П. и. особой точки $O$ поля $V$ на плоскости $(n=2)$ совпадает с числом оборотов вектора $V$ при обходе вокруг $O$ по окружности достаточно малого радиуса. П. и. невырожденной особой точки $O$ гладкого векторного поля $V$ равен $\operatorname{sign}\left(\lambda_{1} \lambda_{2} \ldots \lambda_{n}\right)$, где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ - собственные числа линеаризации поля $\boldsymbol{V}$ в $\boldsymbol{O}$. В частности, при $n=2$ П. и. узла, фокуса, центра и центро-фокуса равен 1, а П. и. седла равен -1. Понятие индекса особой точки, введенное А. Пуанкаре в 1886 (см. [1]) (только для невырожденных особых точек), восходит, так же как и более общее понятие степени отображения, к так наз. характеристике Кронекера системы функций (см. [2]), поэтому П. и. часто называют индексом Кронекера - Пуанкаре (см. [6]). Если все особые точки векторного поля $\boldsymbol{V}$ на компактном многообразии без края изолированы, то сумма их П. и. не зависит от $V$ и равна эйлеровой характеристике многообразия (теорема Пуанкаре, или теорема Пуанкаре - Хопфа).