ПУАССОНА УРАВНЕНИЕ

неоднородное дифференциальное уравнение с частными производными \[ \Delta u(x)=-f(\boldsymbol{x}), \] где $\Delta$ - Лапласа оператор, $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. Краевые задачи для П. у. сводятся к соответствующим задачам Лапласа уравнения подстановкой \[ u=v+V, \] где $v$ удовлетворяет уравнению Лапласа \[ \Delta v=0 \text {, } \] а $V$ - фундаментальное решение П.у. в области $G$ : \[ V(x)=(2 \pi)^{-1} \int_{G} d y \ln |x-y| f(y), \quad n=2 \] (логарифмический потенциал); \[ V(\boldsymbol{x})=-\left[(n-2) \sigma_{n}\right]^{-1} \int_{G} d \boldsymbol{y}|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^{2-n} f(\boldsymbol{y}), \quad n \geqslant 3 \] (ньютонов потенциал). Здесь $\sigma_{n}=2 \pi^{n / 2} \Gamma(n / 2)-$ площадь поверхности единичной сферы в $n$-мерном евклидовом пространстве, Г - гамма-функция. П. у. фигурирует в обширном круге физич. задач. Ему удовлетворяют: потенциалы ньютоновых (кулоновых) сил, порожденных массами (зарядами), распределенными в области $G$ с плотностью $\rho(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x}) / 4 \pi$; потенциал скоростей идеальной несжимаемой жидкости; характеристики стационарных процессов теплопроводности и диффузии. П.у. возникает также в стационарных задачах теории упругости. См. также Гравитационного поля уравнение, Твердое тело; движение около неподвижной точки.

неоднородное дифференциальное уравнение с частными производными \[ \Delta u(x)=-f(\boldsymbol{x}), \] где $\Delta$ - Лапласа оператор, $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. Краевые задачи для П. у. сводятся к соответствующим задачам Лапласа уравнения подстановкой \[ u=v+V, \] где $v$ удовлетворяет уравнению Лапласа \[ \Delta v=0 \text {, } \] а $V$ - фундаментальное решение П.у. в области $G$ : \[ V(x)=(2 \pi)^{-1} \int_{G} d y \ln |x-y| f(y), \quad n=2 \] (логарифмический потенциал); \[ V(\boldsymbol{x})=-\left[(n-2) \sigma_{n}\right]^{-1} \int_{G} d \boldsymbol{y}|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^{2-n} f(\boldsymbol{y}), \quad n \geqslant 3 \] (ньютонов потенциал). Здесь $\sigma_{n}=2 \pi^{n / 2} \Gamma(n / 2)-$ площадь поверхности единичной сферы в $n$-мерном евклидовом пространстве, Г - гамма-функция. П. у. фигурирует в обширном круге физич. задач. Ему удовлетворяют: потенциалы ньютоновых (кулоновых) сил, порожденных массами (зарядами), распределенными в области $G$ с плотностью $\rho(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x}) / 4 \pi$; потенциал скоростей идеальной несжимаемой жидкости; характеристики стационарных процессов теплопроводности и диффузии. П.у. возникает также в стационарных задачах теории упругости. См. также Гравитационного поля уравнение, Твердое тело; движение около неподвижной точки.