РАДИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Двухчастичное Шредингера уравнение \[ \left(-\Delta_{x}+v(x)-k^{2}\right) \Psi(x, k)=0, \] $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{k} \in \mathbb{R}^{3}$, для сферически симметричного потенциала $v(\boldsymbol{x})=v(|\boldsymbol{x}|)$, приводящееся к системе независимых уравнений \[ -\frac{d^{2} u_{l}}{d r^{2}}+\left[v(r)+\frac{l(l+1)}{r^{2}}-k^{2}\right] u_{l}=0, \quad l=0,1,2, \ldots, \] $\boldsymbol{r}=|\boldsymbol{x}|$. Функции $u_{l}=u_{l}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{k})$ являются коэффициентами в разложении функции $\Psi(x, k)$ в ряд по многочленам Лежандра: \[ \Psi(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{k})=\sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) i^{l} \frac{u_{l}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{k})}{k r} P_{l}(\cos \theta) \] где $\cos \theta=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{k}) /(|\boldsymbol{k}||\boldsymbol{x}|)$. Решения задачи рассеяния в этом случае определяются как решения уравнения (1) с асимптотикой при $r \rightarrow \infty$ вида \[ u_{l}(r, k) \sim \exp \left\{i \delta_{l}(k)\right\} \sin \left(k r-\frac{l \pi}{2}+\delta_{l}(k)\right) . \] Уравнения (1) называются радиальными уравнениями Шредингера, функции $u_{l}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{k})-$ парциальными компонентами волновой функции $\Psi(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{k})$, а функции $\delta_{l}(\boldsymbol{k})$ - парциальными фазами рассеяния. Лит.: [1] Faxen H., Holtzmark J., «Z. Phys.», 1927, Bd 45, S. 307-24; [2] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 4 изд., М., 1989. С. П. Меркурьев, С. Л. Яковлев.

Двухчастичное Шредингера уравнение \[ \left(-\Delta_{x}+v(x)-k^{2}\right) \Psi(x, k)=0, \] $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{k} \in \mathbb{R}^{3}$, для сферически симметричного потенциала $v(\boldsymbol{x})=v(|\boldsymbol{x}|)$, приводящееся к системе независимых уравнений \[ -\frac{d^{2} u_{l}}{d r^{2}}+\left[v(r)+\frac{l(l+1)}{r^{2}}-k^{2}\right] u_{l}=0, \quad l=0,1,2, \ldots, \] $\boldsymbol{r}=|\boldsymbol{x}|$. Функции $u_{l}=u_{l}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{k})$ являются коэффициентами в разложении функции $\Psi(x, k)$ в ряд по многочленам Лежандра: \[ \Psi(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{k})=\sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) i^{l} \frac{u_{l}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{k})}{k r} P_{l}(\cos \theta) \] где $\cos \theta=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{k}) /(|\boldsymbol{k}||\boldsymbol{x}|)$. Решения задачи рассеяния в этом случае определяются как решения уравнения (1) с асимптотикой при $r \rightarrow \infty$ вида \[ u_{l}(r, k) \sim \exp \left\{i \delta_{l}(k)\right\} \sin \left(k r-\frac{l \pi}{2}+\delta_{l}(k)\right) . \] Уравнения (1) называются радиальными уравнениями Шредингера, функции $u_{l}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{k})-$ парциальными компонентами волновой функции $\Psi(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{k})$, а функции $\delta_{l}(\boldsymbol{k})$ - парциальными фазами рассеяния. Лит.: [1] Faxen H., Holtzmark J., «Z. Phys.», 1927, Bd 45, S. 307-24; [2] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 4 изд., М., 1989. С. П. Меркурьев, С. Л. Яковлев.