БОЛЬЦМАНА СТАТИСТИКА

статистика систем, содержащих большое число невзаимодействующих частиц (то есть классического идеального газа). Предложена Л. Больцманом (L. Boltzmann, 1868-71). В более общем смысле Б. с.- предельный случай квантовых статистик идеальных газов (Бозе - Эйнштейна статистики и Ферми - Дирака статистики) для газа малой плотности, когда можно пренебречь квантовым вырождением газа, но следует учитывать квантование уровней энергии частиц. Основа Б. с.- распределение частиц идеального газа по состояниям. Поскольку частицы не взаимодействуют между собой, гамильтониан системы можно представить в виде суммы гамильтонианов отдельных частиц и рассматривать состояния не в фазовом пространстве всех частиц, как в статистич. механике Гиббса, а в фазовом пространстве координат и импульсов одной частицы. Это фазовое пространство разбивается на большое число малых ячеек с таким фазовым объемом $G_{i}$, чтобы каждая из них включала много близких состояний. Это возможно, так как уровни энергии макроскопич. системы расположены очень плотно и стремятся к непрерывному распределению с увеличением числа частиц $N$ и объема тела $V$ (отношение $N / V$ принимается постоянным). Состояние одной частицы соответствует определенной ячейке фазового пространства, а состояние всей системы из $N$ частиц - набору чисел $N_{i}$, характеризующему распределение состояний частиц по ячейкам $G_{i}$. Фазовый объем ячеек выражается в единицах $h^{3}$, где $h-$ постоянная Планка, а число 3 соответствует числу степеней свободы одной частицы. Согласно квантовой механике, координату и импульс частицы можно определить лишь с точностью, допускаемой соотношением неопределенностей, отсюда $h^{3}$ - минимальный размер фазового объема одной частицы (до создания квантовой механики единица фазового объема выбиралась произвольно). Объем $G_{i}$, выраженный в единицах $h^{3}$, имеет смысл максимально возможного числа макроскопич. состояний в ячейке. В Б. с. предполагается, что частицы распределяются по различным состояниям совершенно независимо друг от друга и что они различимы между собой. Число различных возможных микроскопич. состояний, соответствующих заданному макроскопич. состоянию газа с энергией $\mathscr{\&}$ и числом частиц $\boldsymbol{N}$ (статистический вес $W_{\text {Б }}$ макросостояния по Больцману), определяется числом различных способов, к-рыми можно распределить $N$ частиц по состояниям в ячейках размером $G_{i}$ при $N_{i}$ частиц в каждой ячейке: \[ W_{\mathrm{Б}}\left\{N_{i}\right\}=N ! \prod_{i} \frac{G_{i}^{N_{i}}}{N_{i} !}, \quad \sum_{i} N_{i}=N, \quad \sum_{i} \varepsilon_{i} N_{i}=\mathscr{E}, \] где учитывается, что перестановка частиц в пределах каждой ячейки не меняет состояния. При правильном больцмановском подсчете статистич. веса надо, однако, учитывать, что перестановки тождественных частиц не меняют состояния, и поэтому $W_{\text {Б }}$ следует уменьшить в $N$ ! раз: \[ W\left\{N_{i}\right\}=\prod_{i} \frac{G_{i} N_{i}}{N_{i} !} . \] Это правило подсчета состояний лежит в основе Б. с. При таком определении статистич. веса для энтропии системы $S$ получим: \[ S=k \ln W . \] В основе статистич. физики лежит предположение, что все микроскопич. состояния, реализующие данное макроскопич. состояние, равновероятны, поэтому вероятность макроскопич. состояния пропорциональна величине статистич. веса $W$. В статистич. равновесии энтропия максимальна при заданной энергии и числе частиц, что соответствует наиболее вероятному распределению. Его, следовательно, можно найти из условия экстремума $S$ (или $W$ ) при фиксированных $\mathscr{E}$ и $N$. Из этого условия следует распределение Больцмана для средних чисел заполнения $i$-го состояния с энергией $\mathscr{~}_{i}$ : \[ \bar{n}_{i}=\frac{\bar{N}_{i}}{G_{i}}=\exp \left[\frac{\mu-\varepsilon_{i}}{k T}\right] \] где $\mu$ - химич. потенциал, $T-$ абсолютная температура. Энтропия идеального газа, подчиняющегося Б. с., равна \[ S=\sum_{i}\left(N_{i} \ln G_{i}-\ln N_{i} !\right)=-\sum_{i} N_{i} \ln \frac{N_{i}}{G_{i} e}, \] так как $\ln N_{i} ! \approx N_{i} \ln \left(N_{i} / e\right)$. Б. с. применима к разреженным атомным и молекулярным газам и плазме, но для плотных газов и плазмы, когда существенно взаимодействие между частицами, надо применять не Б. с., а статистику Гиббса, то есть Гиббса распределение. Б. с. применима к электронам в невырожденных полупроводниках, для металлов надо учитывать вырождение и применять статистику Ферми - Дирака.

статистика систем, содержащих большое число невзаимодействующих частиц (то есть классического идеального газа). Предложена Л. Больцманом (L. Boltzmann, 1868-71). В более общем смысле Б. с.- предельный случай квантовых статистик идеальных газов (Бозе - Эйнштейна статистики и Ферми - Дирака статистики) для газа малой плотности, когда можно пренебречь квантовым вырождением газа, но следует учитывать квантование уровней энергии частиц. Основа Б. с.- распределение частиц идеального газа по состояниям. Поскольку частицы не взаимодействуют между собой, гамильтониан системы можно представить в виде суммы гамильтонианов отдельных частиц и рассматривать состояния не в фазовом пространстве всех частиц, как в статистич. механике Гиббса, а в фазовом пространстве координат и импульсов одной частицы. Это фазовое пространство разбивается на большое число малых ячеек с таким фазовым объемом $G_{i}$, чтобы каждая из них включала много близких состояний. Это возможно, так как уровни энергии макроскопич. системы расположены очень плотно и стремятся к непрерывному распределению с увеличением числа частиц $N$ и объема тела $V$ (отношение $N / V$ принимается постоянным). Состояние одной частицы соответствует определенной ячейке фазового пространства, а состояние всей системы из $N$ частиц - набору чисел $N_{i}$, характеризующему распределение состояний частиц по ячейкам $G_{i}$. Фазовый объем ячеек выражается в единицах $h^{3}$, где $h-$ постоянная Планка, а число 3 соответствует числу степеней свободы одной частицы. Согласно квантовой механике, координату и импульс частицы можно определить лишь с точностью, допускаемой соотношением неопределенностей, отсюда $h^{3}$ - минимальный размер фазового объема одной частицы (до создания квантовой механики единица фазового объема выбиралась произвольно). Объем $G_{i}$, выраженный в единицах $h^{3}$, имеет смысл максимально возможного числа макроскопич. состояний в ячейке. В Б. с. предполагается, что частицы распределяются по различным состояниям совершенно независимо друг от друга и что они различимы между собой. Число различных возможных микроскопич. состояний, соответствующих заданному макроскопич. состоянию газа с энергией $\mathscr{\&}$ и числом частиц $\boldsymbol{N}$ (статистический вес $W_{\text {Б }}$ макросостояния по Больцману), определяется числом различных способов, к-рыми можно распределить $N$ частиц по состояниям в ячейках размером $G_{i}$ при $N_{i}$ частиц в каждой ячейке: \[ W_{\mathrm{Б}}\left\{N_{i}\right\}=N ! \prod_{i} \frac{G_{i}^{N_{i}}}{N_{i} !}, \quad \sum_{i} N_{i}=N, \quad \sum_{i} \varepsilon_{i} N_{i}=\mathscr{E}, \] где учитывается, что перестановка частиц в пределах каждой ячейки не меняет состояния. При правильном больцмановском подсчете статистич. веса надо, однако, учитывать, что перестановки тождественных частиц не меняют состояния, и поэтому $W_{\text {Б }}$ следует уменьшить в $N$ ! раз: \[ W\left\{N_{i}\right\}=\prod_{i} \frac{G_{i} N_{i}}{N_{i} !} . \] Это правило подсчета состояний лежит в основе Б. с. При таком определении статистич. веса для энтропии системы $S$ получим: \[ S=k \ln W . \] В основе статистич. физики лежит предположение, что все микроскопич. состояния, реализующие данное макроскопич. состояние, равновероятны, поэтому вероятность макроскопич. состояния пропорциональна величине статистич. веса $W$. В статистич. равновесии энтропия максимальна при заданной энергии и числе частиц, что соответствует наиболее вероятному распределению. Его, следовательно, можно найти из условия экстремума $S$ (или $W$ ) при фиксированных $\mathscr{E}$ и $N$. Из этого условия следует распределение Больцмана для средних чисел заполнения $i$-го состояния с энергией $\mathscr{~}_{i}$ : \[ \bar{n}_{i}=\frac{\bar{N}_{i}}{G_{i}}=\exp \left[\frac{\mu-\varepsilon_{i}}{k T}\right] \] где $\mu$ - химич. потенциал, $T-$ абсолютная температура. Энтропия идеального газа, подчиняющегося Б. с., равна \[ S=\sum_{i}\left(N_{i} \ln G_{i}-\ln N_{i} !\right)=-\sum_{i} N_{i} \ln \frac{N_{i}}{G_{i} e}, \] так как $\ln N_{i} ! \approx N_{i} \ln \left(N_{i} / e\right)$. Б. с. применима к разреженным атомным и молекулярным газам и плазме, но для плотных газов и плазмы, когда существенно взаимодействие между частицами, надо применять не Б. с., а статистику Гиббса, то есть Гиббса распределение. Б. с. применима к электронам в невырожденных полупроводниках, для металлов надо учитывать вырождение и применять статистику Ферми - Дирака.