РАССЕЯНИЯ ТЕОРИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

теория рассеяния микрочастиц - процесса столкновения частиц, в результате которого либо меняются их импульсы (упругое рассеяние) или наряду с изменением импульсов меняются также внутренние состояния частиц, либо образуются другие частицы (неупругие процессы). Одна из основных количественных характеристик как упругого рассеяния, так и неупругих процессов - эффективное сечение процесса - величина, пропорциональная вероятности процесса. Измерение сечений процессов позволяет изучать законы взаимодействия частиц, исследовать их структуру. Классическая теория рассеяния. Согласно законам классич. нерелятивистской механики, задачу рассеяния двух частиц с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ можно свести путем перехода к системе центра инерции сталкивающихся частиц к задаче рассеяния одной частицы с приведенной массой $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$ на неподвижном силовом центре. Траектория частицы, проходящей через силовое поле (с центром O), искривляется - происходит рассеяние. Угол между начальным ( $\left.\boldsymbol{p}_{\text {нач }}\right)$ и конечным $\left(\boldsymbol{p}_{\text {кон }}\right)$ импульсами рассеиваемой частицы называется углом рассеяния. Угол рассеяния зависит от взаимодействия между частицами и от прицельного параметра $\rho$ - расстояния, на к-ром частица пролетала бы от силового центра, если бы взаимодействие отсутствовало. В опытах обычно направляют на мишень из исследуемого вещества пучок частиц. Число частиц $d N$, рассеянных в единицу времени на углы, лежащие в интервале $\vartheta, \vartheta+d \vartheta$, равно числу частиц, проходящих в единицу времени через кольцо площадью $2 \pi \rho d \rho$. Если $n-$ плотность потока падающих частиц, то \[ d N=2 \pi \rho d \rho n \] а сечение упругого рассеяния $d \sigma$ определяется как отношение $d N / n$ и равно: \[ d \sigma=d N / n=2 \pi \rho d \rho \] Полное сечение рассеяния $\sigma$ получается интегрированием (1) по всем прицельным параметрам. Если $a$ - минимальный прицельный параметр, при к-ром частица не рассеивается, то $\sigma=\pi a^{2}$. Квантовая теория рассеяния. В квантовой теории упругое рассеяние и неупругие процессы описываются матричными элементами $S$-матрицы, или рассеяния матрицы (амплитудами процессов),- комплексными величинами, квадраты модуля к-рых пропорциональны сечениям соответствующих процессов. Через матричные элементы $S$-матрицы выражаются физич. величины, непосредственно измеряемые на опыте: сечение, поляризация частиц, асимметрия, компоненты тензора корреляции поляризаций и т. д. С другой стороны, эти матричные элементы могут быть вычислены при определенных предположениях о виде взаимодействия. Сравнение результатов опыта с теоретич. предсказаниями позволяет получить информацию о взаимодействии. Общие принципы инвариантности (инвариантность относительно вращений, пространственной инверсии, обращения времени и др.) существенно ограничивают возможный вид матричных элементов процессов и позволяют получить проверяемые на опыте соотношения. Напр., из инвариантности относительно вращений и пространственной инверсии, к-рым отвечают законы сохранения углового (орбитального) момента и четности, следует, что поляризация конечной частицы, возникающая при рассеянии неполяризованных частиц, направлена по нормали к плоскости рассеяния (плоскости, проходящей через начальный и конечный импульсы частицы). Таким образом, измеряя направление вектора поляризации, можно выяснить, сохраняется ли четность во взаимодействии, обусловливающем процесс. Изотопич. инвариантность сильного взаимодействия приводит к соотношениям между сечениями различных процессов, а также к запрету нек-рых процессов. Напр., при столкновении двух дейтронов не могут образоваться $\alpha$-частица и $\pi$-мезон. Экспериментальное исследование этого процесса подтвердило справедливость изотопич. инвариантности. Условие унитарности $S$-матрицы, являющееся следствием сохранения полной вероятности, также накладывает ограничения на матричные элементы процессов. Так, из этого условия вытекает оптическая теорема. Из общих принципов квантовой теории (условия микропричинности, релятивистской инвариантности и др.) следует, что элементы $S$-матрицы являются аналитич. функциями в нек-рых областях комплексных переменных. Аналитичность $S$-матрицы позволяет получить ряд соотношений между определяемыми из опыта величинами - дисперсионные соотношения, Померанчука теорему и др. В случае упругого рассеяния бесспиновых частиц решение Шредингера уравнения для волновой функции $\psi(\boldsymbol{r})$ при $r \rightarrow \infty$ имеет вид: \[ \left.\psi(\boldsymbol{r})\right|_{r \rightarrow \infty} \sim \exp (i \boldsymbol{r} \boldsymbol{r})+f(\vartheta) r^{-1} \exp (i \boldsymbol{r} \boldsymbol{r}) . \] Здесь $r$ - расстояние между частицами, $\boldsymbol{k}=\boldsymbol{p} / \hbar-$ волновой вектор, $\boldsymbol{p}$ - импульс в системе центра инерции сталкивающихся частиц, $\vartheta$ - угол рассеяния, $f(\vartheta)$ - амплитуда рассеяния - функция, зависящая от угла рассеяния и энергии сталкивающихся частиц. Первый член в этом выражении описывает падающие частицы, второй - рассеянные. Дифференциальное сечение рассеяния определяется как отношение числа частиц, рассеянных за единицу времени в элемент телесного угла $d \Omega$, к плотности потока падающих частиц. Сечение рассеяния на угол $\vartheta$ (в системе центра инерции) в единичный телесный угол равно: \[ \frac{d \sigma}{d \Omega}=|f(\vartheta)|^{2} \] Амплитуду рассеяния обычно разлагают в ряд по парциальным волнам - состояниям с определенным орбитальным моментом $l$ : \[ f(\vartheta)=\frac{1}{2 i k} \sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1)\left(S_{l}-1\right) P_{l}(\cos \vartheta) . \] Здесь $P_{l}(\cos \vartheta)$ - многочлены Лежандра, $S_{l}$ - комплексные функции энергии, зависящие от характера взаимодействия и являющиеся элементами $S$-матрицы (в представлении, в к-ром диагональны энергия, угловой момент и его проекция). Если число падающих на центр частиц с орбитальным моментом $l$ равно числу идущих от центра частиц с тем же моментом (упругое рассеяние), то $\left|S_{/}\right|=1$. В общем случае $\left|S_{l}\right| \leqslant 1$. Эти условия - следствие условия унитарности $S$-матрицы. Если возможно только упругое рассеяние, то $S_{l}=\exp \left(2 i \delta_{l}\right)$ и рассеяние в состоянии с данным $l$ характеризуется только одним вещественным параметром $\delta_{l}$ - фазой рассеяния. Если $\delta_{l}=0$ при нек-ром $l$, то рассеяние в состоянии с орбитальным моментом $l$ отсутствует. Полное сечение упругого рассеяния равно: \[ \begin{gathered} \sigma^{\mathrm{y} \Pi \mathrm{p}}=\sum_{l=0}^{\infty} \sigma_{l}^{\mathrm{y} п \mathrm{p}}, \\ \sigma_{l}^{\mathrm{y} \Pi \mathrm{p}}=\pi \lambda^{2}(2 l+1)\left|S_{l}-1\right|^{2}, \end{gathered} \] где $\sigma_{l}^{\text {упр }}$ - парциальное сечение упругого рассеяния частиц с орбитальным моментом $l, \lambda=1 / k$ - длина волны де Брой-  и равно: \[ \left(\sigma_{l}^{\mathrm{ynp}}\right)_{\text {макс }}=4 \pi \lambda^{2}(2 l+1) \] при этом $\delta_{l}=\pi / 2$ (резонанс в рассеянии). Таким образом, при резонансе сечение процесса определяется де-бройлевской длиной волны $\lambda$ и для медленных частиц, для к-рых $\lambda \gg R_{0}$, где $R_{0}-$ радиус действия сил, намного превосходит величину $\pi R_{0}^{2}$ (классич. сечение рассеяния). Это явление (необъяснимое с точки зрения классич. теории рассеяния) обусловлено волновой природой микрочастиц. Другим проявлением волновой природы микрочастиц является дифракционное рассеяние - упругое рассеяние быстрых частиц на малые углы $\vartheta \sim \lambda / R_{0}$ (при $\lambda \ll R_{0}$ ), обусловленное отклонением де-бройлевских волн налетающих частиц в область геометрич. тени, возникающей за рассеивающей частицей. Таким образом, дифракционное рассеяние аналогично явлению дифракции света. Зависимость сечения рассеяния от энергии вблизи резонанса определяется формулой Брейта - Вигнера: \[ \sigma_{l}=4 \pi \lambda^{2}(2 l+1) \frac{(\Gamma / 2)^{2}}{\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)+(\Gamma / 2)^{2}}, \] где $\mathscr{E}_{0}-$ энергия, при к-рой сечение достигает максимума (положение резонанса), а $\Gamma-$ ширина резонанса. При $\mathscr{E}=\mathscr{E}_{0}+\Gamma / 2$ сечение $\sigma_{l}=\sigma_{l}^{\text {макс }} / 2$. Полное сечение всех неупругих процессов \[ \begin{gathered} \sigma^{\text {неупр }}=\sum_{l=0}^{\infty} \sigma_{l}^{\text {неупр }}, \\ \sigma_{l}^{\text {неупр }}=\pi \lambda^{2}(2 l+1)\left(1-\left|S_{l}\right|^{2}\right) . \end{gathered} \] Условие унитарности ограничивает величину парциального сечения для неупругих процессов: \[ \sigma_{l}^{\text {неупр }} \leqslant \pi \lambda^{2}(2 l+1) \] Для короткодействующих потенциалов взаимодействия основную роль играют фазы рассеяния с $l \leqslant R_{0} / \lambda$, где $R_{0}-$ радиус действия сил; величина $l \lambda$ определяет минимальное расстояние, на к-рое может приблизиться к центру сил свободная частица с моментом $l$ (прицельный параметр в квантовой теории). При $R_{0} / \lambda \ll 1$ (малые энергии) следует учитывать только парциальную волну с $l=0$ ( $S$-волну). Амплитуда рассеяния в этом случае \[ f \approx \frac{1}{2 i k}\left(\exp \left(2 i \delta_{0}\right)-1\right)=\frac{1}{k \operatorname{ctg} \sigma_{0}-i k} \] и сечение рассеяния не зависит от $\vartheta$ (рассеяние сферически симметрично). При малых энергиях \[ k \operatorname{ctg} \sigma_{0} \approx-\frac{1}{a}+\frac{1}{2} r_{0} k^{2} . \] Параметры $a$ и $r_{0}$ называются соответственно длиной рассеяния и эффективным радиусом рассеяния. Их находят из опыта, и они являются важными характеристиками сил, действующих между частицами. Длина рассеяния равна по величине и противоположна по знаку амплитуде рассеяния при $k=0$. Полное сечение рассеяния при $k=0$ равно $\sigma_{0}=4 \pi a^{2}$. Если у частиц имеется связанное состояние с малой энергией связи, то их рассеяние при $R_{0} / \lambda \ll 1$ носит резонансный характер. Типичный пример - рассеяние нейтронов протонами в состоянии с полным спином $J=1$, в к-ром система нейтрон-протон имеет связанное состояние (дейтрон). В этом случае длина рассеяния $\boldsymbol{a}$ отрицательна, а сечение рассеяния зависит только от энергии связи. Если параметр $R_{0} / \lambda$ невелик, фазы рассеяния могут быть получены из измеренных на опыте сечений, поляризаций и других величин. Эта процедура называется фазовым анализом. Найденные фазы рассеяния сравниваются с теоретич. предсказаниями и позволяют получить важную информацию о характере взаимодействия. Информацию о взаимодействии дают измерения поляризационных эффектов. Для упругого рассеяния частиц со спином 0 на частицах со спином 1/2 вместо (2) имеем \[ \psi_{0}(\boldsymbol{r}) \sim \exp (i \boldsymbol{r}) u_{\sigma}+M_{\sigma \sigma^{\prime}}\left(\boldsymbol{k}^{\prime}, \boldsymbol{k}\right) u_{\sigma^{\prime}} \exp (i \boldsymbol{r}) / r . \] Здесь $\boldsymbol{k}=\boldsymbol{p} /|\boldsymbol{p}|$ и $\boldsymbol{k}^{\prime}=\boldsymbol{p}^{\prime} /\left|\boldsymbol{p}^{\prime}\right|\left(\boldsymbol{p}\right.$ и $\boldsymbol{p}^{\prime}-$ начальный и конечный импульсы в системе центра инерции), $u_{\sigma}$ - спинор, описывающий состояние начальных частиц, $M_{\sigma \sigma^{\prime}}\left(\boldsymbol{k}_{1}, \boldsymbol{k}\right)$ $-(2 \times 2)$-матрица, называемая спиновой матрицей рассеяния, $\sigma$ - спиновый индекс (по повторяющемуся индексу $\sigma^{\prime}$ производится суммирование). Из сохранения полного момента и четности (инвариантности относительно вращений и пространственных отражений) следует, что матрица $M$ имеет общий вид \[ M=a+b \sigma \boldsymbol{n}, \] где $a$ и $b$ - комплексные функции скаляров $\boldsymbol{k} \boldsymbol{k}^{\prime}$ и $\boldsymbol{k}^{2}, \sigma_{i}$ Паули матрицы, $\boldsymbol{n}=\left[\boldsymbol{k} \boldsymbol{k}^{\prime}\right] /\left|\left[\boldsymbol{k} \boldsymbol{k}^{\prime}\right]\right|-$ единичный вектор нормали к плоскости рассеяния. Один из основных приближенных методов Р. т.- возмущений теория. Если падающая плоская волна, описывающая начальные частицы, слабо возмущается потенциалом взаимодействия, то применимо так наз. Борна приближение (первый член ряда теории возмущений). Амплитуда упругого рассеяния в приближении Борна равна \[ f(\vartheta)=-2 \mu \int_{0}^{\infty} V(r) \frac{\sin (q r)}{q r} r^{2} d r \] где $q=2 k \sin (\vartheta / 2), V(r)$ - потенциал взаимодействия. Для описания процессов рассеяния при высоких энергиях используются методы квантовой теории поля, в частности метод Фейнмана диаграмм.

теория рассеяния микрочастиц - процесса столкновения частиц, в результате которого либо меняются их импульсы (упругое рассеяние) или наряду с изменением импульсов меняются также внутренние состояния частиц, либо образуются другие частицы (неупругие процессы). Одна из основных количественных характеристик как упругого рассеяния, так и неупругих процессов - эффективное сечение процесса - величина, пропорциональная вероятности процесса. Измерение сечений процессов позволяет изучать законы взаимодействия частиц, исследовать их структуру. Классическая теория рассеяния. Согласно законам классич. нерелятивистской механики, задачу рассеяния двух частиц с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ можно свести путем перехода к системе центра инерции сталкивающихся частиц к задаче рассеяния одной частицы с приведенной массой $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$ на неподвижном силовом центре. Траектория частицы, проходящей через силовое поле (с центром O), искривляется - происходит рассеяние. Угол между начальным ( $\left.\boldsymbol{p}_{\text {нач }}\right)$ и конечным $\left(\boldsymbol{p}_{\text {кон }}\right)$ импульсами рассеиваемой частицы называется углом рассеяния. Угол рассеяния зависит от взаимодействия между частицами и от прицельного параметра $\rho$ - расстояния, на к-ром частица пролетала бы от силового центра, если бы взаимодействие отсутствовало. В опытах обычно направляют на мишень из исследуемого вещества пучок частиц. Число частиц $d N$, рассеянных в единицу времени на углы, лежащие в интервале $\vartheta, \vartheta+d \vartheta$, равно числу частиц, проходящих в единицу времени через кольцо площадью $2 \pi \rho d \rho$. Если $n-$ плотность потока падающих частиц, то \[ d N=2 \pi \rho d \rho n \] а сечение упругого рассеяния $d \sigma$ определяется как отношение $d N / n$ и равно: \[ d \sigma=d N / n=2 \pi \rho d \rho \] Полное сечение рассеяния $\sigma$ получается интегрированием (1) по всем прицельным параметрам. Если $a$ - минимальный прицельный параметр, при к-ром частица не рассеивается, то $\sigma=\pi a^{2}$. Квантовая теория рассеяния. В квантовой теории упругое рассеяние и неупругие процессы описываются матричными элементами $S$-матрицы, или рассеяния матрицы (амплитудами процессов),- комплексными величинами, квадраты модуля к-рых пропорциональны сечениям соответствующих процессов. Через матричные элементы $S$-матрицы выражаются физич. величины, непосредственно измеряемые на опыте: сечение, поляризация частиц, асимметрия, компоненты тензора корреляции поляризаций и т. д. С другой стороны, эти матричные элементы могут быть вычислены при определенных предположениях о виде взаимодействия. Сравнение результатов опыта с теоретич. предсказаниями позволяет получить информацию о взаимодействии. Общие принципы инвариантности (инвариантность относительно вращений, пространственной инверсии, обращения времени и др.) существенно ограничивают возможный вид матричных элементов процессов и позволяют получить проверяемые на опыте соотношения. Напр., из инвариантности относительно вращений и пространственной инверсии, к-рым отвечают законы сохранения углового (орбитального) момента и четности, следует, что поляризация конечной частицы, возникающая при рассеянии неполяризованных частиц, направлена по нормали к плоскости рассеяния (плоскости, проходящей через начальный и конечный импульсы частицы). Таким образом, измеряя направление вектора поляризации, можно выяснить, сохраняется ли четность во взаимодействии, обусловливающем процесс. Изотопич. инвариантность сильного взаимодействия приводит к соотношениям между сечениями различных процессов, а также к запрету нек-рых процессов. Напр., при столкновении двух дейтронов не могут образоваться $\alpha$-частица и $\pi$-мезон. Экспериментальное исследование этого процесса подтвердило справедливость изотопич. инвариантности. Условие унитарности $S$-матрицы, являющееся следствием сохранения полной вероятности, также накладывает ограничения на матричные элементы процессов. Так, из этого условия вытекает оптическая теорема. Из общих принципов квантовой теории (условия микропричинности, релятивистской инвариантности и др.) следует, что элементы $S$-матрицы являются аналитич. функциями в нек-рых областях комплексных переменных. Аналитичность $S$-матрицы позволяет получить ряд соотношений между определяемыми из опыта величинами - дисперсионные соотношения, Померанчука теорему и др. В случае упругого рассеяния бесспиновых частиц решение Шредингера уравнения для волновой функции $\psi(\boldsymbol{r})$ при $r \rightarrow \infty$ имеет вид: \[ \left.\psi(\boldsymbol{r})\right|_{r \rightarrow \infty} \sim \exp (i \boldsymbol{r} \boldsymbol{r})+f(\vartheta) r^{-1} \exp (i \boldsymbol{r} \boldsymbol{r}) . \] Здесь $r$ - расстояние между частицами, $\boldsymbol{k}=\boldsymbol{p} / \hbar-$ волновой вектор, $\boldsymbol{p}$ - импульс в системе центра инерции сталкивающихся частиц, $\vartheta$ - угол рассеяния, $f(\vartheta)$ - амплитуда рассеяния - функция, зависящая от угла рассеяния и энергии сталкивающихся частиц. Первый член в этом выражении описывает падающие частицы, второй - рассеянные. Дифференциальное сечение рассеяния определяется как отношение числа частиц, рассеянных за единицу времени в элемент телесного угла $d \Omega$, к плотности потока падающих частиц. Сечение рассеяния на угол $\vartheta$ (в системе центра инерции) в единичный телесный угол равно: \[ \frac{d \sigma}{d \Omega}=|f(\vartheta)|^{2} \] Амплитуду рассеяния обычно разлагают в ряд по парциальным волнам - состояниям с определенным орбитальным моментом $l$ : \[ f(\vartheta)=\frac{1}{2 i k} \sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1)\left(S_{l}-1\right) P_{l}(\cos \vartheta) . \] Здесь $P_{l}(\cos \vartheta)$ - многочлены Лежандра, $S_{l}$ - комплексные функции энергии, зависящие от характера взаимодействия и являющиеся элементами $S$-матрицы (в представлении, в к-ром диагональны энергия, угловой момент и его проекция). Если число падающих на центр частиц с орбитальным моментом $l$ равно числу идущих от центра частиц с тем же моментом (упругое рассеяние), то $\left|S_{/}\right|=1$. В общем случае $\left|S_{l}\right| \leqslant 1$. Эти условия - следствие условия унитарности $S$-матрицы. Если возможно только упругое рассеяние, то $S_{l}=\exp \left(2 i \delta_{l}\right)$ и рассеяние в состоянии с данным $l$ характеризуется только одним вещественным параметром $\delta_{l}$ - фазой рассеяния. Если $\delta_{l}=0$ при нек-ром $l$, то рассеяние в состоянии с орбитальным моментом $l$ отсутствует. Полное сечение упругого рассеяния равно: \[ \begin{gathered} \sigma^{\mathrm{y} \Pi \mathrm{p}}=\sum_{l=0}^{\infty} \sigma_{l}^{\mathrm{y} п \mathrm{p}}, \\ \sigma_{l}^{\mathrm{y} \Pi \mathrm{p}}=\pi \lambda^{2}(2 l+1)\left|S_{l}-1\right|^{2}, \end{gathered} \] где $\sigma_{l}^{\text {упр }}$ - парциальное сечение упругого рассеяния частиц с орбитальным моментом $l, \lambda=1 / k$ - длина волны де Брой-  и равно: \[ \left(\sigma_{l}^{\mathrm{ynp}}\right)_{\text {макс }}=4 \pi \lambda^{2}(2 l+1) \] при этом $\delta_{l}=\pi / 2$ (резонанс в рассеянии). Таким образом, при резонансе сечение процесса определяется де-бройлевской длиной волны $\lambda$ и для медленных частиц, для к-рых $\lambda \gg R_{0}$, где $R_{0}-$ радиус действия сил, намного превосходит величину $\pi R_{0}^{2}$ (классич. сечение рассеяния). Это явление (необъяснимое с точки зрения классич. теории рассеяния) обусловлено волновой природой микрочастиц. Другим проявлением волновой природы микрочастиц является дифракционное рассеяние - упругое рассеяние быстрых частиц на малые углы $\vartheta \sim \lambda / R_{0}$ (при $\lambda \ll R_{0}$ ), обусловленное отклонением де-бройлевских волн налетающих частиц в область геометрич. тени, возникающей за рассеивающей частицей. Таким образом, дифракционное рассеяние аналогично явлению дифракции света. Зависимость сечения рассеяния от энергии вблизи резонанса определяется формулой Брейта - Вигнера: \[ \sigma_{l}=4 \pi \lambda^{2}(2 l+1) \frac{(\Gamma / 2)^{2}}{\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)+(\Gamma / 2)^{2}}, \] где $\mathscr{E}_{0}-$ энергия, при к-рой сечение достигает максимума (положение резонанса), а $\Gamma-$ ширина резонанса. При $\mathscr{E}=\mathscr{E}_{0}+\Gamma / 2$ сечение $\sigma_{l}=\sigma_{l}^{\text {макс }} / 2$. Полное сечение всех неупругих процессов \[ \begin{gathered} \sigma^{\text {неупр }}=\sum_{l=0}^{\infty} \sigma_{l}^{\text {неупр }}, \\ \sigma_{l}^{\text {неупр }}=\pi \lambda^{2}(2 l+1)\left(1-\left|S_{l}\right|^{2}\right) . \end{gathered} \] Условие унитарности ограничивает величину парциального сечения для неупругих процессов: \[ \sigma_{l}^{\text {неупр }} \leqslant \pi \lambda^{2}(2 l+1) \] Для короткодействующих потенциалов взаимодействия основную роль играют фазы рассеяния с $l \leqslant R_{0} / \lambda$, где $R_{0}-$ радиус действия сил; величина $l \lambda$ определяет минимальное расстояние, на к-рое может приблизиться к центру сил свободная частица с моментом $l$ (прицельный параметр в квантовой теории). При $R_{0} / \lambda \ll 1$ (малые энергии) следует учитывать только парциальную волну с $l=0$ ( $S$-волну). Амплитуда рассеяния в этом случае \[ f \approx \frac{1}{2 i k}\left(\exp \left(2 i \delta_{0}\right)-1\right)=\frac{1}{k \operatorname{ctg} \sigma_{0}-i k} \] и сечение рассеяния не зависит от $\vartheta$ (рассеяние сферически симметрично). При малых энергиях \[ k \operatorname{ctg} \sigma_{0} \approx-\frac{1}{a}+\frac{1}{2} r_{0} k^{2} . \] Параметры $a$ и $r_{0}$ называются соответственно длиной рассеяния и эффективным радиусом рассеяния. Их находят из опыта, и они являются важными характеристиками сил, действующих между частицами. Длина рассеяния равна по величине и противоположна по знаку амплитуде рассеяния при $k=0$. Полное сечение рассеяния при $k=0$ равно $\sigma_{0}=4 \pi a^{2}$. Если у частиц имеется связанное состояние с малой энергией связи, то их рассеяние при $R_{0} / \lambda \ll 1$ носит резонансный характер. Типичный пример - рассеяние нейтронов протонами в состоянии с полным спином $J=1$, в к-ром система нейтрон-протон имеет связанное состояние (дейтрон). В этом случае длина рассеяния $\boldsymbol{a}$ отрицательна, а сечение рассеяния зависит только от энергии связи. Если параметр $R_{0} / \lambda$ невелик, фазы рассеяния могут быть получены из измеренных на опыте сечений, поляризаций и других величин. Эта процедура называется фазовым анализом. Найденные фазы рассеяния сравниваются с теоретич. предсказаниями и позволяют получить важную информацию о характере взаимодействия. Информацию о взаимодействии дают измерения поляризационных эффектов. Для упругого рассеяния частиц со спином 0 на частицах со спином 1/2 вместо (2) имеем \[ \psi_{0}(\boldsymbol{r}) \sim \exp (i \boldsymbol{r}) u_{\sigma}+M_{\sigma \sigma^{\prime}}\left(\boldsymbol{k}^{\prime}, \boldsymbol{k}\right) u_{\sigma^{\prime}} \exp (i \boldsymbol{r}) / r . \] Здесь $\boldsymbol{k}=\boldsymbol{p} /|\boldsymbol{p}|$ и $\boldsymbol{k}^{\prime}=\boldsymbol{p}^{\prime} /\left|\boldsymbol{p}^{\prime}\right|\left(\boldsymbol{p}\right.$ и $\boldsymbol{p}^{\prime}-$ начальный и конечный импульсы в системе центра инерции), $u_{\sigma}$ - спинор, описывающий состояние начальных частиц, $M_{\sigma \sigma^{\prime}}\left(\boldsymbol{k}_{1}, \boldsymbol{k}\right)$ $-(2 \times 2)$-матрица, называемая спиновой матрицей рассеяния, $\sigma$ - спиновый индекс (по повторяющемуся индексу $\sigma^{\prime}$ производится суммирование). Из сохранения полного момента и четности (инвариантности относительно вращений и пространственных отражений) следует, что матрица $M$ имеет общий вид \[ M=a+b \sigma \boldsymbol{n}, \] где $a$ и $b$ - комплексные функции скаляров $\boldsymbol{k} \boldsymbol{k}^{\prime}$ и $\boldsymbol{k}^{2}, \sigma_{i}$ Паули матрицы, $\boldsymbol{n}=\left[\boldsymbol{k} \boldsymbol{k}^{\prime}\right] /\left|\left[\boldsymbol{k} \boldsymbol{k}^{\prime}\right]\right|-$ единичный вектор нормали к плоскости рассеяния. Один из основных приближенных методов Р. т.- возмущений теория. Если падающая плоская волна, описывающая начальные частицы, слабо возмущается потенциалом взаимодействия, то применимо так наз. Борна приближение (первый член ряда теории возмущений). Амплитуда упругого рассеяния в приближении Борна равна \[ f(\vartheta)=-2 \mu \int_{0}^{\infty} V(r) \frac{\sin (q r)}{q r} r^{2} d r \] где $q=2 k \sin (\vartheta / 2), V(r)$ - потенциал взаимодействия. Для описания процессов рассеяния при высоких энергиях используются методы квантовой теории поля, в частности метод Фейнмана диаграмм.