РАСШИРЕНИЕ ГРУППЫ $K$ С ПОМОЩЬЮ НОРМАЛЬНОГО ДЕЛИТЕЛЯ $H$

группа $G$ такая, что $H$ - подгруппа в $G$ и факторгруппа $G / H$ изоморфна $K$. Основная проблема теории Р. групп: как восстановить $G$ по $K$ и $H$. Пусть, для простоты, группа $H$ абелева и $g$ - элемент группы $G$. Тогда отображение $\tau_{g}: h \rightarrow g h g^{-1}$ задает автоморфизм группы $H$. Таким образом, группа $G$ действует на $H$ автоморфизмами, то есть отображение $g \rightarrow \tau_{g}$ является гомоморфизмом $G$ в группу автоморфизмов группы $H$. Но $H$ действует на себя тривиально, то есть $\tau_{g}$ зависит лишь от класса смежности $G / H$ и, тем самым, факторгруппа $K=G / H$ действует на $H$ автоморфизмами. Зная автоморфизмы $\tau_{g}$ в $H$, можно пытаться восстановить умножение в $G$. Пусть $k$ - элемент $K$, а $s(k)$ - нек-рый представитель соответствующего класса смежности по $H$. Ясно, что, вообще говоря, $s\left(k_{1} k_{2}\right) \neq s\left(k_{1}\right) s\left(k_{2}\right)$, однако они лежат в одном классе смежности по $H$, и, следовательно, существует элемент $c\left(k_{1}, k_{2}\right) \in H$ такой, что \[ s\left(k_{1}\right) s\left(k_{2}\right)=c\left(k_{1}, k_{2}\right) s\left(k_{1} k_{2}\right) \] Переписывая условие \[ s\left(k_{1}\right)\left(s\left(k_{2}\right) s\left(k_{3}\right)\right)=\left(s\left(k_{1}\right) s\left(k_{2}\right)\right) s\left(k_{3}\right), \] получают, что элементы $c\left(k_{1}, k_{2}\right)$ должны удовлетворять соотношению: \[ c\left(k_{1}, k_{2} k_{3}\right) \tau_{k_{1}}\left(c\left(k_{2}, k_{3}\right)\right)=c\left(k_{1} k_{2}, k_{3}\right) c\left(k_{1}, k_{2}\right) . \] Зная систему элементов $c\left(k_{1}, k_{2}\right)$, можно считать известным и умножение в $\boldsymbol{G}$. Однако в выборе $s(k)$ был произвол: с тем же успехом можно было выбрать элементы $s^{\prime}(k)=$ $=h(k) s(k)$, где $h(k) \in H$. Это дает новую систему элементов $c^{\prime}\left(k_{1}, k_{2}\right)$, связанную со старой соотношениями: \[ \begin{gathered} c^{\prime}\left(k_{1}, k_{2}\right)= \\ =c\left(k_{1}, k_{2}\right) h\left(k_{1}\right) \tau_{k_{1}}\left(h\left(k_{2}\right)\right) h\left(k_{1} k_{2}\right)^{-1} c\left(k_{1}, k_{2} k_{3}\right) . \end{gathered} \] На языке когомологии групп равенство (1) означает, что $c\left(k_{1}, k_{2}\right)$ есть 2 -коцепь на $K$ с коэффициентами в $H$, а равенство (2) означает, что Р. не меняется, если коцепь $c$ умножается на кограницу. Итак, все Р. группы $K$ с помощью $H$ при фиксированной системе автоморфизмов $\tau_{k}$ нумеруются элементами группы когомологий $H^{2}(K, H)$. Нулевому элементу группы $H^{2}(K, H)$ (то есть случаю, когда $\left.c\left(k_{1}, k_{2}\right)=e\right)$ отвечает полупрямое произведение групп $K$ и $H$. Во многих интересных случаях все автоморфизмы тождественны. Тогда Р. называется центральным. Ю. А. Неретин.

группа $G$ такая, что $H$ - подгруппа в $G$ и факторгруппа $G / H$ изоморфна $K$. Основная проблема теории Р. групп: как восстановить $G$ по $K$ и $H$. Пусть, для простоты, группа $H$ абелева и $g$ - элемент группы $G$. Тогда отображение $\tau_{g}: h \rightarrow g h g^{-1}$ задает автоморфизм группы $H$. Таким образом, группа $G$ действует на $H$ автоморфизмами, то есть отображение $g \rightarrow \tau_{g}$ является гомоморфизмом $G$ в группу автоморфизмов группы $H$. Но $H$ действует на себя тривиально, то есть $\tau_{g}$ зависит лишь от класса смежности $G / H$ и, тем самым, факторгруппа $K=G / H$ действует на $H$ автоморфизмами. Зная автоморфизмы $\tau_{g}$ в $H$, можно пытаться восстановить умножение в $G$. Пусть $k$ - элемент $K$, а $s(k)$ - нек-рый представитель соответствующего класса смежности по $H$. Ясно, что, вообще говоря, $s\left(k_{1} k_{2}\right) \neq s\left(k_{1}\right) s\left(k_{2}\right)$, однако они лежат в одном классе смежности по $H$, и, следовательно, существует элемент $c\left(k_{1}, k_{2}\right) \in H$ такой, что \[ s\left(k_{1}\right) s\left(k_{2}\right)=c\left(k_{1}, k_{2}\right) s\left(k_{1} k_{2}\right) \] Переписывая условие \[ s\left(k_{1}\right)\left(s\left(k_{2}\right) s\left(k_{3}\right)\right)=\left(s\left(k_{1}\right) s\left(k_{2}\right)\right) s\left(k_{3}\right), \] получают, что элементы $c\left(k_{1}, k_{2}\right)$ должны удовлетворять соотношению: \[ c\left(k_{1}, k_{2} k_{3}\right) \tau_{k_{1}}\left(c\left(k_{2}, k_{3}\right)\right)=c\left(k_{1} k_{2}, k_{3}\right) c\left(k_{1}, k_{2}\right) . \] Зная систему элементов $c\left(k_{1}, k_{2}\right)$, можно считать известным и умножение в $\boldsymbol{G}$. Однако в выборе $s(k)$ был произвол: с тем же успехом можно было выбрать элементы $s^{\prime}(k)=$ $=h(k) s(k)$, где $h(k) \in H$. Это дает новую систему элементов $c^{\prime}\left(k_{1}, k_{2}\right)$, связанную со старой соотношениями: \[ \begin{gathered} c^{\prime}\left(k_{1}, k_{2}\right)= \\ =c\left(k_{1}, k_{2}\right) h\left(k_{1}\right) \tau_{k_{1}}\left(h\left(k_{2}\right)\right) h\left(k_{1} k_{2}\right)^{-1} c\left(k_{1}, k_{2} k_{3}\right) . \end{gathered} \] На языке когомологии групп равенство (1) означает, что $c\left(k_{1}, k_{2}\right)$ есть 2 -коцепь на $K$ с коэффициентами в $H$, а равенство (2) означает, что Р. не меняется, если коцепь $c$ умножается на кограницу. Итак, все Р. группы $K$ с помощью $H$ при фиксированной системе автоморфизмов $\tau_{k}$ нумеруются элементами группы когомологий $H^{2}(K, H)$. Нулевому элементу группы $H^{2}(K, H)$ (то есть случаю, когда $\left.c\left(k_{1}, k_{2}\right)=e\right)$ отвечает полупрямое произведение групп $K$ и $H$. Во многих интересных случаях все автоморфизмы тождественны. Тогда Р. называется центральным. Ю. А. Неретин.