РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

функция вида \[ R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} \] где $P(z)$ и $Q(z)$ - многочлены: \[ \begin{gathered} P(z)=a_{0} z^{n}+a_{1} z^{n-1}+\ldots+a_{n}, \\ Q(z)=b_{0} z^{m}+b_{1} z^{m-1}+\ldots+b_{m} ; \\ a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{m} \end{gathered} \] - постоянные, называемые коэффициентами Р. Ф., $a_{0} \neq 0, b_{0} \neq 0, n$ и $m$ - целые неотрицательные числа. В частности, Р. Ф. являются многочлен (или полином, целая рациональная функция) (при $b_{i} \neq 0, i=0,1$, $. ., m)$ и дробно-линейная функция (если $P(x)$ и $Q(x)-$ линейные функции). Можно считать, что многочлены $P(z)$ и $Q(z)$ взаимно простые, то есть не имеют общих корней (нулей), так как в противном случае дробь $\frac{P(z)}{Q(z)}$ можно сократить. Р. Ф. является мероморфной функцией в расширенной комплексной плоскости. Полюсами Р. ф. являются корни ее знаменателя и точка $z=\infty$ при $n>m$. Если $z_{0}-$ корень многочлена $Q(z)$ кратности $k$, то $z_{0}$ - полюс Р. ф. порядка $k$; если $n>m$, то точка $z=\infty-$ полюс Р. ф. порядка $n-m$. При $z \rightarrow \infty$ имеет место асимптотич. формула \[ R(z) \sim \frac{a_{0}}{b_{0}} z^{n-m} . \] Справедливо обратное утверждение: мероморфная в расширенной комплексной плоскости функция является Р. ф. В. И. Битюцков.

функция вида \[ R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} \] где $P(z)$ и $Q(z)$ - многочлены: \[ \begin{gathered} P(z)=a_{0} z^{n}+a_{1} z^{n-1}+\ldots+a_{n}, \\ Q(z)=b_{0} z^{m}+b_{1} z^{m-1}+\ldots+b_{m} ; \\ a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{m} \end{gathered} \] - постоянные, называемые коэффициентами Р. Ф., $a_{0} \neq 0, b_{0} \neq 0, n$ и $m$ - целые неотрицательные числа. В частности, Р. Ф. являются многочлен (или полином, целая рациональная функция) (при $b_{i} \neq 0, i=0,1$, $. ., m)$ и дробно-линейная функция (если $P(x)$ и $Q(x)-$ линейные функции). Можно считать, что многочлены $P(z)$ и $Q(z)$ взаимно простые, то есть не имеют общих корней (нулей), так как в противном случае дробь $\frac{P(z)}{Q(z)}$ можно сократить. Р. Ф. является мероморфной функцией в расширенной комплексной плоскости. Полюсами Р. ф. являются корни ее знаменателя и точка $z=\infty$ при $n>m$. Если $z_{0}-$ корень многочлена $Q(z)$ кратности $k$, то $z_{0}$ - полюс Р. ф. порядка $k$; если $n>m$, то точка $z=\infty-$ полюс Р. ф. порядка $n-m$. При $z \rightarrow \infty$ имеет место асимптотич. формула \[ R(z) \sim \frac{a_{0}}{b_{0}} z^{n-m} . \] Справедливо обратное утверждение: мероморфная в расширенной комплексной плоскости функция является Р. ф. В. И. Битюцков.