РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ

представление ее в виде предела последовательности гладких функций. Именно, последовательность функций $f_{\mathbf{v}}(x)$ класса $C^{(\infty)}, \quad v=1,2, \ldots$, называется регуляризацией обобщенной функции $f \in \mathscr{F}^{\prime}$, если $f_{v}(x)$ задают регулярные обобщенные функции $f_{\mathrm{v}} \in \mathscr{F}^{\prime}$, слабо сходящиеся к $f$ при $v \rightarrow \infty$, то есть если \[ \lim _{v \rightarrow \infty} \int f_{v}(x) \varphi(x) d^{n} x=(f, \varphi), \quad \varphi \in \mathscr{F} . \] Обычно используют Р. вида \[ f_{v}(x)=\left(f(y), \delta_{v}(x-y)\right) \equiv f * \delta_{v}(x), \] где $f \in \mathscr{F}^{\prime}-$ данная обобщенная функция, $\delta_{v}(x) \in \mathscr{F}$, $v=1,2, \ldots,-$ дельта-последовательность, то есть такая последовательность, что \[ \delta_{v^{*}} \varphi(x)=\int \delta_{v}(x-y) \varphi(y) d^{n} y \in \mathscr{F} \] и сходится к $\varphi$ в топологии $\mathscr{F}$. В стандартных пространствах обобщенных функций каждая обобщенная функция имеет Р. Этот факт лежит в основе секвенциального подхода к теории обобщенных функций, где обобщенная функция определяется как класс эквивалентности своих Р. В. В. Жаринов.

представление ее в виде предела последовательности гладких функций. Именно, последовательность функций $f_{\mathbf{v}}(x)$ класса $C^{(\infty)}, \quad v=1,2, \ldots$, называется регуляризацией обобщенной функции $f \in \mathscr{F}^{\prime}$, если $f_{v}(x)$ задают регулярные обобщенные функции $f_{\mathrm{v}} \in \mathscr{F}^{\prime}$, слабо сходящиеся к $f$ при $v \rightarrow \infty$, то есть если \[ \lim _{v \rightarrow \infty} \int f_{v}(x) \varphi(x) d^{n} x=(f, \varphi), \quad \varphi \in \mathscr{F} . \] Обычно используют Р. вида \[ f_{v}(x)=\left(f(y), \delta_{v}(x-y)\right) \equiv f * \delta_{v}(x), \] где $f \in \mathscr{F}^{\prime}-$ данная обобщенная функция, $\delta_{v}(x) \in \mathscr{F}$, $v=1,2, \ldots,-$ дельта-последовательность, то есть такая последовательность, что \[ \delta_{v^{*}} \varphi(x)=\int \delta_{v}(x-y) \varphi(y) d^{n} y \in \mathscr{F} \] и сходится к $\varphi$ в топологии $\mathscr{F}$. В стандартных пространствах обобщенных функций каждая обобщенная функция имеет Р. Этот факт лежит в основе секвенциального подхода к теории обобщенных функций, где обобщенная функция определяется как класс эквивалентности своих Р. В. В. Жаринов.