РЕЗОНАНСНОЕ СООТНОШЕНИЕ, РЕЗОНАНС

1) для системы с быстро вращающимися фазами - равенство, выражающее целочисленную линейную зависимость частот: $(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{\omega})=0$, где $\boldsymbol{k}=\left(k_{1}, \ldots, k_{\boldsymbol{m}}\right)$ - целочисленный ненулевой вектор с несократимыми компонентами, $\omega=\omega(I)=$ $=\left(\omega_{1}(I), \ldots, \omega_{m}(I)\right)-$ вектор частот невозмущенного движения, $(\boldsymbol{k}, \omega) \equiv k_{1} \omega_{1}+\ldots+k_{m} \omega_{m}$. Число $|\boldsymbol{k}|=\left|k_{1}\right|+\ldots+\left|k_{m}\right|$ называется порядком Р.с. (или порядком резонанса). Гармоники \[ \sin _{\cos }[i l(k, \varphi)], \quad l \in \mathbb{Z} \backslash\{0\}, \varphi \operatorname{modd} 2 \pi \in T^{m} \] называются резонансными гармониками данного Р. с. Поверхность в пространстве $\mathbb{R}^{n}$ медленных переменных $I$, определяемую Р.с. $(\boldsymbol{k}, \omega(I))=0$, называется резонансной поверхностью. При $m \geqslant 2$ объединение резонансных поверхностей для всех Р.с. всюду плотно в пространстве медленных переменных, если отображение $\omega: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ - общего положения. 2) Для автономной системы дифференциальных уравнений в окрестности ее положения равновесия Р. с.- равенство $\lambda_{s}=(\boldsymbol{k}, \lambda)$, где $\lambda=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}\right)-$ набор собственных чисел этого равновесия, $k=\left(k_{1}, \ldots, k_{m}\right) \in \mathbb{Z}^{m}, k_{i} \geqslant 0, \sum k_{i} \geqslant 2$. Число $|\boldsymbol{k}|=k_{1}+\ldots+k_{m}-$ порядок Р. с. 3) Для системы дифференциальных уравнений в окрестности ее периодич. решения (в частности, для периодич. по времени системы в окрестности ее равновесия) Р. с. - равенство $\mu_{s}=\mu^{k}$, где $\mu=\left(\mu_{1}, \ldots, \mu_{m}\right)-$ набор мультипликаторов периодич. решения, $\boldsymbol{k}=\left(k_{1}, \ldots, k_{m}\right) \in \mathbb{Z}^{m}, k_{i} \geqslant 0$, $\sum k_{i} \geqslant 2, \mu^{k} \equiv \mu_{1}^{k_{1}} \ldots \mu_{m}^{k_{m}}$. Число $|\boldsymbol{k}|=k_{1}+\ldots+k_{m}-$ порядок Р.с. Точно так же определяется Р.с. для отображения пространства в себя в окрестности неподвижной точки. Лит.: [1] Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978

1) для системы с быстро вращающимися фазами - равенство, выражающее целочисленную линейную зависимость частот: $(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{\omega})=0$, где $\boldsymbol{k}=\left(k_{1}, \ldots, k_{\boldsymbol{m}}\right)$ - целочисленный ненулевой вектор с несократимыми компонентами, $\omega=\omega(I)=$ $=\left(\omega_{1}(I), \ldots, \omega_{m}(I)\right)-$ вектор частот невозмущенного движения, $(\boldsymbol{k}, \omega) \equiv k_{1} \omega_{1}+\ldots+k_{m} \omega_{m}$. Число $|\boldsymbol{k}|=\left|k_{1}\right|+\ldots+\left|k_{m}\right|$ называется порядком Р.с. (или порядком резонанса). Гармоники \[ \sin _{\cos }[i l(k, \varphi)], \quad l \in \mathbb{Z} \backslash\{0\}, \varphi \operatorname{modd} 2 \pi \in T^{m} \] называются резонансными гармониками данного Р. с. Поверхность в пространстве $\mathbb{R}^{n}$ медленных переменных $I$, определяемую Р.с. $(\boldsymbol{k}, \omega(I))=0$, называется резонансной поверхностью. При $m \geqslant 2$ объединение резонансных поверхностей для всех Р.с. всюду плотно в пространстве медленных переменных, если отображение $\omega: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ - общего положения. 2) Для автономной системы дифференциальных уравнений в окрестности ее положения равновесия Р. с.- равенство $\lambda_{s}=(\boldsymbol{k}, \lambda)$, где $\lambda=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}\right)-$ набор собственных чисел этого равновесия, $k=\left(k_{1}, \ldots, k_{m}\right) \in \mathbb{Z}^{m}, k_{i} \geqslant 0, \sum k_{i} \geqslant 2$. Число $|\boldsymbol{k}|=k_{1}+\ldots+k_{m}-$ порядок Р. с. 3) Для системы дифференциальных уравнений в окрестности ее периодич. решения (в частности, для периодич. по времени системы в окрестности ее равновесия) Р. с. - равенство $\mu_{s}=\mu^{k}$, где $\mu=\left(\mu_{1}, \ldots, \mu_{m}\right)-$ набор мультипликаторов периодич. решения, $\boldsymbol{k}=\left(k_{1}, \ldots, k_{m}\right) \in \mathbb{Z}^{m}, k_{i} \geqslant 0$, $\sum k_{i} \geqslant 2, \mu^{k} \equiv \mu_{1}^{k_{1}} \ldots \mu_{m}^{k_{m}}$. Число $|\boldsymbol{k}|=k_{1}+\ldots+k_{m}-$ порядок Р.с. Точно так же определяется Р.с. для отображения пространства в себя в окрестности неподвижной точки. Лит.: [1] Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978