РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА КЛАССИЧЕСКАЯ

раздел теоретической физики, рассматривающий законы движения тел (частиц) при скоростях движения, сравнимых со скоростью света в вакууме $c=29979250 \cdot 10^{10} \mathrm{~cm} /$ сек. При таких скоростях (их принято называть релятивистскими) зависимость энергии $E$ тела массы $m$ от его скорости $v$ описывается уже не формулой классич. (ньютоновой) механики: \[ E_{\text {Кин }}=\frac{m v^{2}}{2} \] а релятивистской механики: \[ E=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \] Масса $m$, входящая в эту формулу, называется массой покоя тела. При скоростях, много меньших $c$, формула (1) приобретает вид: \[ E=m c^{2}+\frac{m v^{2}}{2} \] Второй член справа совпадает с $E_{\text {кин }}$ (что свидетельствует, в частности, о соответствии Р. м. с обычной), а первый член показывает, что покоящееся тело обладает энергией $E=m c^{2}$, называемой энергией покоя. В ядерных реакциях и процессах превращения элементарных частиц энергия покоя может переходить в кинетич. энергию частиц. Из формулы (1) вытекает, что энергия тел с ненулевой массой стремится к бесконечности при $v \rightarrow c$. Если $m \neq 0$, то скорость тела всегда меньше $c$. Частицы с $m=0$ (фотоны и нейтрино) всегда движутся со скоростью света. Иногда говорят, что при релятивистских скоростях масса тела начинает зависеть от его скорости, и величину \[ m_{\text {дв }}=\frac{m}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=M \] называют массой движения, или релятивистской массой. Из формулы (1) следует, что \[ E=m_{\text {дв }} c^{2} \text {. } \] Скорость света в вакууме в Р. м. является предельной скоростью, то есть передача любых взаимодействий и сигналов из одной точки в другую происходит со скоростью, не превышающей скорость света. Существование предельной скорости несовместимо с представлениями классич. механики и потому вызывает необходимость глубокой перестройки классич. пространственно-временных представлений. Механич. импульс $\boldsymbol{p}$ тела (частицы) определяется его релятивистской массой $M$ и скоростью $v$ : \[ p=M v \] при этом набор $(M, \boldsymbol{p})$ есть 4-мерный вектор, норма к-рого равна $M^{2}-|p|^{2}=m^{2}$ и к-рый направлен в будущее $(M>0)$. Если нет внешнего поля, то частица движется равномерно и прямолинейно: $v$ есть величина постоянная. Во внешнем поле $\boldsymbol{F}$ траектория частицы описывается уравнением \[ \frac{d \boldsymbol{p}}{d t}=\boldsymbol{F} \] (основное уравнение релятивистской механики частицы), откуда следуют соотношения \[ \frac{d M}{d t}=(v, F), \quad \frac{d}{d t}[\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}]=[\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}] \] где $\boldsymbol{r}-$ пространственная часть 4-вектора, определяющего событие; они определяют зависимость от времени массы и момента количества движения. В Р. м., так же как и в классич. механике, для замкнутой системы сохраняется импульс и энергия, а при Лоренца преобразованиях инвариантна величина \[ \frac{E^{2}}{c^{2}}-|\boldsymbol{p}|^{2}=m^{2} c^{2} \] Итак, два ньютоновых понятия - импульс и энергия, существовавшие порознь, в Р. м. оказываются неразделимыми, а именно: компоненты импульса, умноженные на мнимую единицу $i$ вместе с энергией, деленной на $c$, являются компонентами 4-вектора энергии-импульса $E+i p$ в пространстве-времени Минковского. Приведенные выше уравнения движения можно вывести в рамках лагранжева формализма или гамильтонова формализма. А) Лагранжев формализм. В Р.м., в отличие от ньютоновой, время $t$ не служит независимой переменной, оно теперь не более чем одна из координат, равноценная трем остальным. Физич. события происходят в четырехмерном мире, в к-ром не должно существовать предпочтительного направления. Уравнения, приводящие к такому привилегированному направлению, должны быть либо отброшены либо исправлены таким образом, чтобы в конечном счете они отразили надлежащую псевдоевклидову структуру физич. мира. Существование функции Лагранжа $L$ облегчает эту задачу. Если эта функция является лоренц-инвариантной, то есть скаляром четырехмерного мира, то полученные из этой функции уравнения будут корректными с релятивистской точки зрения. Если выбрать время $t$ в качестве независимой переменной, то функция Лагранжа $L$ в интеграле действия I будет иметь вид: \[ \begin{gathered} L=-c^{2} m \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}, \\ I=-c \int m d s, \quad d s^{2}=c^{2} d t^{2}-d r^{2} . \end{gathered} \] Из общих принципов вариационного метода в механике известно, что «импульсы» механич. системы равны \[ p=\frac{m \boldsymbol{v}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} . \] Таким образом, поправка к ньютонову определению оказывается небольшой для малых скоростей и приобретает решающее значение при скоростях, близких к скорости света $c$. Другой важной величиной является энергия $E$, определяемая при помощи функции Лагранжа, как \[ E=p_{i} q^{i}-L \] в рассматриваемом случае она имеет вид: \[ E=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \] Б) Гамильтонов формализм. В пункте А) время $t$ использовалось в качестве независимого переменного. Такой подход не в духе релятивизма, потому что время должно входить на равных правах по отношению к другим координатам. Это можно сделать, введя параметр $\tau$ и рассматривая координаты $q^{i}$ в пространстве-времени как функции $\tau$ (как это обычно делается при изучении уравнений движения методом Гамильтона). Здесь основной является уже не функция Лагранжа, а функция Гамильтона \[ H=\sum_{i} p_{i} \dot{q}^{i}-L, \quad \dot{q}^{i}=\frac{d q^{i}}{d s} \sqrt{\sum\left(q^{i}\right)^{2}}=\frac{d q^{i}}{d \tau} . \] В рассматриваемой задаче \[ L=-m c \sqrt{\sum\left(\dot{q}^{i}\right)^{2}} \] так что \[ p_{i}=\frac{\partial L}{\partial q^{i}}=-m c \frac{d q}{d s}, \text { и } \boldsymbol{H}=\sum p_{i} \dot{q}^{i}-L=0 . \] Образовавшаяся ситуация не должна смущать, хотя в $L$ входит $H$ из (3), а $H$ обращается в нуль, так как роль функции Гамильтона берет на себя тождество, к-рое должно существовать между $p_{i}$. Действительно, из (4) видно, что $\dot{q}_{i}$ нельзя выразить через $p_{i}$ ввиду тождества \[ \sum\left(p_{i}\right)^{2}-m^{2} c^{2}=0 \] к-рое следует рассматривать как дополнительное условие вариационной задачи, и надлежит минимизировать интеграл \[ A=\int \sum p_{i} \dot{q}^{i} d \tau \] при условии (5). Это означает, что результирующий лагранжиан $L$ становится \[ L^{\prime}=\sum p_{i} \dot{q}^{i}-\lambda\left(\sum\left(p_{i}\right)^{2}-m^{2} c^{2}\right) \] появление неопределенного множителя $\lambda$ связано со свободой выбора параметра $\tau$.

раздел теоретической физики, рассматривающий законы движения тел (частиц) при скоростях движения, сравнимых со скоростью света в вакууме $c=29979250 \cdot 10^{10} \mathrm{~cm} /$ сек. При таких скоростях (их принято называть релятивистскими) зависимость энергии $E$ тела массы $m$ от его скорости $v$ описывается уже не формулой классич. (ньютоновой) механики: \[ E_{\text {Кин }}=\frac{m v^{2}}{2} \] а релятивистской механики: \[ E=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \] Масса $m$, входящая в эту формулу, называется массой покоя тела. При скоростях, много меньших $c$, формула (1) приобретает вид: \[ E=m c^{2}+\frac{m v^{2}}{2} \] Второй член справа совпадает с $E_{\text {кин }}$ (что свидетельствует, в частности, о соответствии Р. м. с обычной), а первый член показывает, что покоящееся тело обладает энергией $E=m c^{2}$, называемой энергией покоя. В ядерных реакциях и процессах превращения элементарных частиц энергия покоя может переходить в кинетич. энергию частиц. Из формулы (1) вытекает, что энергия тел с ненулевой массой стремится к бесконечности при $v \rightarrow c$. Если $m \neq 0$, то скорость тела всегда меньше $c$. Частицы с $m=0$ (фотоны и нейтрино) всегда движутся со скоростью света. Иногда говорят, что при релятивистских скоростях масса тела начинает зависеть от его скорости, и величину \[ m_{\text {дв }}=\frac{m}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=M \] называют массой движения, или релятивистской массой. Из формулы (1) следует, что \[ E=m_{\text {дв }} c^{2} \text {. } \] Скорость света в вакууме в Р. м. является предельной скоростью, то есть передача любых взаимодействий и сигналов из одной точки в другую происходит со скоростью, не превышающей скорость света. Существование предельной скорости несовместимо с представлениями классич. механики и потому вызывает необходимость глубокой перестройки классич. пространственно-временных представлений. Механич. импульс $\boldsymbol{p}$ тела (частицы) определяется его релятивистской массой $M$ и скоростью $v$ : \[ p=M v \] при этом набор $(M, \boldsymbol{p})$ есть 4-мерный вектор, норма к-рого равна $M^{2}-|p|^{2}=m^{2}$ и к-рый направлен в будущее $(M>0)$. Если нет внешнего поля, то частица движется равномерно и прямолинейно: $v$ есть величина постоянная. Во внешнем поле $\boldsymbol{F}$ траектория частицы описывается уравнением \[ \frac{d \boldsymbol{p}}{d t}=\boldsymbol{F} \] (основное уравнение релятивистской механики частицы), откуда следуют соотношения \[ \frac{d M}{d t}=(v, F), \quad \frac{d}{d t}[\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}]=[\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}] \] где $\boldsymbol{r}-$ пространственная часть 4-вектора, определяющего событие; они определяют зависимость от времени массы и момента количества движения. В Р. м., так же как и в классич. механике, для замкнутой системы сохраняется импульс и энергия, а при Лоренца преобразованиях инвариантна величина \[ \frac{E^{2}}{c^{2}}-|\boldsymbol{p}|^{2}=m^{2} c^{2} \] Итак, два ньютоновых понятия - импульс и энергия, существовавшие порознь, в Р. м. оказываются неразделимыми, а именно: компоненты импульса, умноженные на мнимую единицу $i$ вместе с энергией, деленной на $c$, являются компонентами 4-вектора энергии-импульса $E+i p$ в пространстве-времени Минковского. Приведенные выше уравнения движения можно вывести в рамках лагранжева формализма или гамильтонова формализма. А) Лагранжев формализм. В Р.м., в отличие от ньютоновой, время $t$ не служит независимой переменной, оно теперь не более чем одна из координат, равноценная трем остальным. Физич. события происходят в четырехмерном мире, в к-ром не должно существовать предпочтительного направления. Уравнения, приводящие к такому привилегированному направлению, должны быть либо отброшены либо исправлены таким образом, чтобы в конечном счете они отразили надлежащую псевдоевклидову структуру физич. мира. Существование функции Лагранжа $L$ облегчает эту задачу. Если эта функция является лоренц-инвариантной, то есть скаляром четырехмерного мира, то полученные из этой функции уравнения будут корректными с релятивистской точки зрения. Если выбрать время $t$ в качестве независимой переменной, то функция Лагранжа $L$ в интеграле действия I будет иметь вид: \[ \begin{gathered} L=-c^{2} m \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}, \\ I=-c \int m d s, \quad d s^{2}=c^{2} d t^{2}-d r^{2} . \end{gathered} \] Из общих принципов вариационного метода в механике известно, что «импульсы» механич. системы равны \[ p=\frac{m \boldsymbol{v}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} . \] Таким образом, поправка к ньютонову определению оказывается небольшой для малых скоростей и приобретает решающее значение при скоростях, близких к скорости света $c$. Другой важной величиной является энергия $E$, определяемая при помощи функции Лагранжа, как \[ E=p_{i} q^{i}-L \] в рассматриваемом случае она имеет вид: \[ E=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \] Б) Гамильтонов формализм. В пункте А) время $t$ использовалось в качестве независимого переменного. Такой подход не в духе релятивизма, потому что время должно входить на равных правах по отношению к другим координатам. Это можно сделать, введя параметр $\tau$ и рассматривая координаты $q^{i}$ в пространстве-времени как функции $\tau$ (как это обычно делается при изучении уравнений движения методом Гамильтона). Здесь основной является уже не функция Лагранжа, а функция Гамильтона \[ H=\sum_{i} p_{i} \dot{q}^{i}-L, \quad \dot{q}^{i}=\frac{d q^{i}}{d s} \sqrt{\sum\left(q^{i}\right)^{2}}=\frac{d q^{i}}{d \tau} . \] В рассматриваемой задаче \[ L=-m c \sqrt{\sum\left(\dot{q}^{i}\right)^{2}} \] так что \[ p_{i}=\frac{\partial L}{\partial q^{i}}=-m c \frac{d q}{d s}, \text { и } \boldsymbol{H}=\sum p_{i} \dot{q}^{i}-L=0 . \] Образовавшаяся ситуация не должна смущать, хотя в $L$ входит $H$ из (3), а $H$ обращается в нуль, так как роль функции Гамильтона берет на себя тождество, к-рое должно существовать между $p_{i}$. Действительно, из (4) видно, что $\dot{q}_{i}$ нельзя выразить через $p_{i}$ ввиду тождества \[ \sum\left(p_{i}\right)^{2}-m^{2} c^{2}=0 \] к-рое следует рассматривать как дополнительное условие вариационной задачи, и надлежит минимизировать интеграл \[ A=\int \sum p_{i} \dot{q}^{i} d \tau \] при условии (5). Это означает, что результирующий лагранжиан $L$ становится \[ L^{\prime}=\sum p_{i} \dot{q}^{i}-\lambda\left(\sum\left(p_{i}\right)^{2}-m^{2} c^{2}\right) \] появление неопределенного множителя $\lambda$ связано со свободой выбора параметра $\tau$.