РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА; ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

дифференциальная форма записи математических соотношений для перенормированных квантовополевых функций (пропагаторов, вершинных функций), лежащих в основе метода ренормализационной группы в квантовой теории поля и некоторых других разделах теоретической физики. Дифференциальные уравнения ренормализационной группы могут быть получены путем дифференцирования ренормализационно-групповых функциональных уравнений. При этом возможны две различные формы дифференциальных уравнений. Дифференцируя, напр., безмассовое функциональное уравнение для эффективной константы связи $\bar{g}$ (см. Ренормализационная группа; функциональные уравнения): \[ \bar{g}(x, g)=\bar{g}(x / t, \bar{g}(t, g)) \] по $x$ и полагая затем $t=x$, получают \[ x \frac{\partial \bar{g}(x, g)}{\partial x}=\beta(\bar{g},(x, g)) . \] В правой части этого нелинейного дифференциального уравнения стоит групповой генератор (иначе - бета-функция) $\beta$, определенный соотношением \[ \beta(g)=\left.\frac{\partial \bar{g}(t, g)}{\partial t}\right|_{t=1} . \] В то же время, дифференцируя (1) по $t$ и полагая затем $t=1$, приходят к линейному уравнению с частными производными \[ \left\{x \frac{\partial}{\partial x}-\beta(g) \frac{\partial}{\partial g}\right\} \bar{g}(x, g)=0 . \] Уравнения (2) и (4) содержат одинаковую информацию и в совокупности с условием нормировки $\bar{g}(1, g)=g$ эквивалентны исходному уравнению (1). Аналогичным способом могут быть получены дифференциальные уравнения для более сложных случаев. Нелинейные дифференциальные уравнения типа (1), впервые полученные в 1955 Н.Н. Боголюбовым и Д. В. Ширковым, иногда называют уравнениями Гелл-Мана - Лоу, а линейные уравнения вида (4), полученные впервые Л. В. Овсянниковым, известны как уравнения Каллана - Симанчика. Дифференциальные уравнения Р. г. являются технич. основой метода ренормализационной группы в квантовой теории поля, служащего эффективным инструментом улучшения аппроксимационных свойств теории возмущений в окрестности особенностей решений. Дело в том, что при разложении в ряд структура особенностей, как правило, искажается, а конечные отрезки рядов теории возмущений не обладают также групповой симметрией и, следовательно, их суммы не удовлетворяют групповым функциональным уравнениям. В методе ренормализационной группы такие приближенные решения используются в качестве отправной точки. С их помощью соотношениями вида \[ \beta(g)=\left.\frac{\partial \bar{g}_{T B}(x, g)}{\partial x}\right|_{x=1}, \] где $\bar{g}_{T B}$ - сумма небольшого числа членов теории возмущений, определяются групповые генераторы. Затем решают дифференциальные уравнения в явном виде. Полученные таким способом новые «ренормализационно-групповые» решения, с одной стороны, в точности удовлетворяют надлежащим функциональным уравнениям, а с другой - соображениям соответствия с исходными решениями. Д. В. Ширков.

дифференциальная форма записи математических соотношений для перенормированных квантовополевых функций (пропагаторов, вершинных функций), лежащих в основе метода ренормализационной группы в квантовой теории поля и некоторых других разделах теоретической физики. Дифференциальные уравнения ренормализационной группы могут быть получены путем дифференцирования ренормализационно-групповых функциональных уравнений. При этом возможны две различные формы дифференциальных уравнений. Дифференцируя, напр., безмассовое функциональное уравнение для эффективной константы связи $\bar{g}$ (см. Ренормализационная группа; функциональные уравнения): \[ \bar{g}(x, g)=\bar{g}(x / t, \bar{g}(t, g)) \] по $x$ и полагая затем $t=x$, получают \[ x \frac{\partial \bar{g}(x, g)}{\partial x}=\beta(\bar{g},(x, g)) . \] В правой части этого нелинейного дифференциального уравнения стоит групповой генератор (иначе - бета-функция) $\beta$, определенный соотношением \[ \beta(g)=\left.\frac{\partial \bar{g}(t, g)}{\partial t}\right|_{t=1} . \] В то же время, дифференцируя (1) по $t$ и полагая затем $t=1$, приходят к линейному уравнению с частными производными \[ \left\{x \frac{\partial}{\partial x}-\beta(g) \frac{\partial}{\partial g}\right\} \bar{g}(x, g)=0 . \] Уравнения (2) и (4) содержат одинаковую информацию и в совокупности с условием нормировки $\bar{g}(1, g)=g$ эквивалентны исходному уравнению (1). Аналогичным способом могут быть получены дифференциальные уравнения для более сложных случаев. Нелинейные дифференциальные уравнения типа (1), впервые полученные в 1955 Н.Н. Боголюбовым и Д. В. Ширковым, иногда называют уравнениями Гелл-Мана - Лоу, а линейные уравнения вида (4), полученные впервые Л. В. Овсянниковым, известны как уравнения Каллана - Симанчика. Дифференциальные уравнения Р. г. являются технич. основой метода ренормализационной группы в квантовой теории поля, служащего эффективным инструментом улучшения аппроксимационных свойств теории возмущений в окрестности особенностей решений. Дело в том, что при разложении в ряд структура особенностей, как правило, искажается, а конечные отрезки рядов теории возмущений не обладают также групповой симметрией и, следовательно, их суммы не удовлетворяют групповым функциональным уравнениям. В методе ренормализационной группы такие приближенные решения используются в качестве отправной точки. С их помощью соотношениями вида \[ \beta(g)=\left.\frac{\partial \bar{g}_{T B}(x, g)}{\partial x}\right|_{x=1}, \] где $\bar{g}_{T B}$ - сумма небольшого числа членов теории возмущений, определяются групповые генераторы. Затем решают дифференциальные уравнения в явном виде. Полученные таким способом новые «ренормализационно-групповые» решения, с одной стороны, в точности удовлетворяют надлежащим функциональным уравнениям, а с другой - соображениям соответствия с исходными решениями. Д. В. Ширков.