РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ТРУППА; ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

функциональные соотношения, выражающие законы преобразования пропагаторов и (перенормированных полных) вершинных функций при конечных ренормировочных преобразованиях, лежащих в основе ренормализационной группы. Наиболее простой вид функциональное уравнение Р. г. имеет для так наз. эффективной константы связи $\bar{g}(x, g)$ в безмассовой перенормированной квантовой теории поля с одной безразмерной константой связи $g$. Помимо $g$ функция $\bar{g}$ зависит еще от безразмерного аргумента, равного отношению квадрата 4-импульса $Q$ к квадрату так наз. параметра шкалы $\mu$ (иначе - массы или импульса нормировки) $x=Q^{2} / \mu^{2}$. Это уравнение для $\bar{g}$ может быть записано в виде: \[ \bar{g}(x, g)=\bar{g}(x / t, \bar{g}(t, g)), \] выражающем инвариантность $\bar{g}$ относительно ренормировочного преобразования \[ x \rightarrow x^{\prime}=x / t, g \rightarrow g^{\prime}=\bar{g}(t, g) . \] В случае учета массы частицы $m$ эффективная константа связи зависит от дополнительного аргумента $y=m^{2} / \mu^{2}$, а уравнение принимает вид: \[ \bar{g}(x, y, g)=\bar{g}(x / t, y / t, \bar{g}(t, y, g)) \text {. } \] В общем случае эффективная константа связи представляется произведением нек-рого числа пропагаторов и симметричной (по импульсным аргументам) вершинной функции, соответствующей элементарной вершине с данной константой связи. Для каждого из этих сомножителей, напр. для пропагатора $s(x, y, g)$, к-рый при ренормировочных преобразованиях приобретает множитель $z$, уравнение имеет вид: \[ s(x, y, g)=z(t, y, g) s(x / t, y / t, \bar{g}(t, y, g)) . \] Обычно функция $s$ удовлетворяет условию нормировки $s(1$, $y, g)=1$, за счет чего $z$ может быть выражено через $s$. Для квантовополевых моделей с несколькими константами связи функциональные уравнения Р. г. для соответствующих эффективных констант образуют систему. Напр., в случае двух констант связи $g$ и $h$ : \[ \left.\begin{array}{l} \bar{g}(x ; g, h)=\bar{g}\left(x / t ; g_{t}, h_{t}\right), \\ \bar{h}(x ; g, h)=\bar{h}\left(x / t ; g_{t}, h_{t}\right), \end{array}\right\} \] где $g_{t} \equiv \bar{g}(t ; g, h), h_{t} \equiv \bar{h}(t ; g, h)$. Решения приведенных уравнений содержат произвольные функции. Напр., общее решение уравнения (2) выражается через произвольную функцию $\Phi(y, g)$, однозначно обратимую относительно второго аргумента, соотношением \[ \Phi(y / x, \bar{g}(x, y, g))=\Phi(y, g), \] общее решение уравнения (1) - через произвольную однозначную функцию одного аргумента и т. д. Уравнения, подобные приведенным, возникают при анализе функционального самоподобия, подобно ренормализационно-групповому, во многих других разделах теоретич. физики: теории критич. явлений, теории полимеров, теории турбулентности и др. См. также Функциональная автомодельность. Д. В. Ширков.

функциональные соотношения, выражающие законы преобразования пропагаторов и (перенормированных полных) вершинных функций при конечных ренормировочных преобразованиях, лежащих в основе ренормализационной группы. Наиболее простой вид функциональное уравнение Р. г. имеет для так наз. эффективной константы связи $\bar{g}(x, g)$ в безмассовой перенормированной квантовой теории поля с одной безразмерной константой связи $g$. Помимо $g$ функция $\bar{g}$ зависит еще от безразмерного аргумента, равного отношению квадрата 4-импульса $Q$ к квадрату так наз. параметра шкалы $\mu$ (иначе - массы или импульса нормировки) $x=Q^{2} / \mu^{2}$. Это уравнение для $\bar{g}$ может быть записано в виде: \[ \bar{g}(x, g)=\bar{g}(x / t, \bar{g}(t, g)), \] выражающем инвариантность $\bar{g}$ относительно ренормировочного преобразования \[ x \rightarrow x^{\prime}=x / t, g \rightarrow g^{\prime}=\bar{g}(t, g) . \] В случае учета массы частицы $m$ эффективная константа связи зависит от дополнительного аргумента $y=m^{2} / \mu^{2}$, а уравнение принимает вид: \[ \bar{g}(x, y, g)=\bar{g}(x / t, y / t, \bar{g}(t, y, g)) \text {. } \] В общем случае эффективная константа связи представляется произведением нек-рого числа пропагаторов и симметричной (по импульсным аргументам) вершинной функции, соответствующей элементарной вершине с данной константой связи. Для каждого из этих сомножителей, напр. для пропагатора $s(x, y, g)$, к-рый при ренормировочных преобразованиях приобретает множитель $z$, уравнение имеет вид: \[ s(x, y, g)=z(t, y, g) s(x / t, y / t, \bar{g}(t, y, g)) . \] Обычно функция $s$ удовлетворяет условию нормировки $s(1$, $y, g)=1$, за счет чего $z$ может быть выражено через $s$. Для квантовополевых моделей с несколькими константами связи функциональные уравнения Р. г. для соответствующих эффективных констант образуют систему. Напр., в случае двух констант связи $g$ и $h$ : \[ \left.\begin{array}{l} \bar{g}(x ; g, h)=\bar{g}\left(x / t ; g_{t}, h_{t}\right), \\ \bar{h}(x ; g, h)=\bar{h}\left(x / t ; g_{t}, h_{t}\right), \end{array}\right\} \] где $g_{t} \equiv \bar{g}(t ; g, h), h_{t} \equiv \bar{h}(t ; g, h)$. Решения приведенных уравнений содержат произвольные функции. Напр., общее решение уравнения (2) выражается через произвольную функцию $\Phi(y, g)$, однозначно обратимую относительно второго аргумента, соотношением \[ \Phi(y / x, \bar{g}(x, y, g))=\Phi(y, g), \] общее решение уравнения (1) - через произвольную однозначную функцию одного аргумента и т. д. Уравнения, подобные приведенным, возникают при анализе функционального самоподобия, подобно ренормализационно-групповому, во многих других разделах теоретич. физики: теории критич. явлений, теории полимеров, теории турбулентности и др. См. также Функциональная автомодельность. Д. В. Ширков.