РИМАНА-ШВАРЦА ПРИНЦИП, ПРИНЦИП СИММЕТРИИ РИМАНА-ШВАРЦА

метод продолжения конформных отображений и аналитических функций комплексного переменного, сформулированный Б. Риманом (B. Riemann) и обоснованный Г. Шварцем (H. Schwarz) в 19 в. Р.-Ш.П. для конформных отображений состоит в следующем. Пусть области $D_{1}, D_{2}$ на комплексной плоскости $\mathbb{C}$ симметричны относительно действительной оси $\mathbb{R}$ и не пересекаются, а их границы содержат общий интервал $\gamma \subset \mathbb{R}$, причем $D=D_{1} \cup \gamma \cup D_{2}-$ тоже область. Пусть аналогично определены $D_{1}^{*}, D_{2}^{*}, \gamma^{*}$ и $D^{*}$. Если функция $f_{1}$, непрерывная на $D_{1} \cup \gamma$, конформно отображает $D_{1}$ на $D_{1}^{*}$ и если $f_{1}(\gamma)=\gamma^{*}$, то функция $f(z)$, равная $f_{1}(z)$ при $z \in D_{1} \cup \gamma$ и $\overline{f_{1}(z)}$ при $z \in D_{2}$, осуществляет конформное отображение области $D$ на область $D^{*}$. Р.-Ш.П. для голоморфных функций. Пусть граница области $D \subset \mathbb{C}$ содержит открытый участок $\gamma$, к-рый является гладкой вещественно аналитич. дугой. Если функция $f$ голоморфна в $D$, непрерывна в $D \cup \gamma$ и ее значения на $\gamma$ принадлежат нек-рой другой гладкой вещественно аналитич. дуге $\gamma^{*}$, то $f$ аналитически продолжается в нек-рую окрестность дуги $\gamma$. Р.-Ш.П. используется для построения конформных отображений плоских областей, а также в теории аналитич. продолжения функций одного и многих комплексных переменных. Лит.: [1] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 4 изд., М., 1973. Е. М. Чирка.

метод продолжения конформных отображений и аналитических функций комплексного переменного, сформулированный Б. Риманом (B. Riemann) и обоснованный Г. Шварцем (H. Schwarz) в 19 в. Р.-Ш.П. для конформных отображений состоит в следующем. Пусть области $D_{1}, D_{2}$ на комплексной плоскости $\mathbb{C}$ симметричны относительно действительной оси $\mathbb{R}$ и не пересекаются, а их границы содержат общий интервал $\gamma \subset \mathbb{R}$, причем $D=D_{1} \cup \gamma \cup D_{2}-$ тоже область. Пусть аналогично определены $D_{1}^{*}, D_{2}^{*}, \gamma^{*}$ и $D^{*}$. Если функция $f_{1}$, непрерывная на $D_{1} \cup \gamma$, конформно отображает $D_{1}$ на $D_{1}^{*}$ и если $f_{1}(\gamma)=\gamma^{*}$, то функция $f(z)$, равная $f_{1}(z)$ при $z \in D_{1} \cup \gamma$ и $\overline{f_{1}(z)}$ при $z \in D_{2}$, осуществляет конформное отображение области $D$ на область $D^{*}$. Р.-Ш.П. для голоморфных функций. Пусть граница области $D \subset \mathbb{C}$ содержит открытый участок $\gamma$, к-рый является гладкой вещественно аналитич. дугой. Если функция $f$ голоморфна в $D$, непрерывна в $D \cup \gamma$ и ее значения на $\gamma$ принадлежат нек-рой другой гладкой вещественно аналитич. дуге $\gamma^{*}$, то $f$ аналитически продолжается в нек-рую окрестность дуги $\gamma$. Р.-Ш.П. используется для построения конформных отображений плоских областей, а также в теории аналитич. продолжения функций одного и многих комплексных переменных. Лит.: [1] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 4 изд., М., 1973. Е. М. Чирка.