РИЧЧИ ТЕНЗОР МНОГООБРАЗИЯ С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ $\Gamma_{j k}^{i}$

след тензора Риччи $R_{g l}=R_{q, i l}^{i}$. В трехмерном пространстве Р. т. определяет Римана тензор. Точнее \[ \begin{gathered} R_{\alpha \beta \gamma \delta}=R_{\alpha \gamma} g_{\beta \delta}-R_{\alpha \delta} g_{\beta \gamma}+R_{\beta \delta} g_{\alpha \gamma}-R_{\beta \gamma} g_{\alpha \delta}+ \\ +\frac{g^{\varepsilon \xi} R_{\varepsilon \xi}}{2}\left(g_{\alpha \delta} g_{\beta \gamma}-g_{\alpha \gamma} g_{\beta \delta}\right), \end{gathered} \] где $R_{\alpha \beta \gamma \delta}=g_{\alpha \beta} R_{\beta, \gamma \delta}^{p}, R_{\beta, \gamma \delta}^{p}-$ тензор кривизны для связности, согласованной с метрикой $g_{i j}$. Р. т. риманова многообразия - это тензор Риччи связности, согласованной с римановой метрикой. См. также Ньюмена - Пенроуза формализм. В. В. Трофимов.

след тензора Риччи $R_{g l}=R_{q, i l}^{i}$. В трехмерном пространстве Р. т. определяет Римана тензор. Точнее \[ \begin{gathered} R_{\alpha \beta \gamma \delta}=R_{\alpha \gamma} g_{\beta \delta}-R_{\alpha \delta} g_{\beta \gamma}+R_{\beta \delta} g_{\alpha \gamma}-R_{\beta \gamma} g_{\alpha \delta}+ \\ +\frac{g^{\varepsilon \xi} R_{\varepsilon \xi}}{2}\left(g_{\alpha \delta} g_{\beta \gamma}-g_{\alpha \gamma} g_{\beta \delta}\right), \end{gathered} \] где $R_{\alpha \beta \gamma \delta}=g_{\alpha \beta} R_{\beta, \gamma \delta}^{p}, R_{\beta, \gamma \delta}^{p}-$ тензор кривизны для связности, согласованной с метрикой $g_{i j}$. Р. т. риманова многообразия - это тензор Риччи связности, согласованной с римановой метрикой. См. также Ньюмена - Пенроуза формализм. В. В. Трофимов.