САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР

линейный оператор $A$ с плотной областью определения $\mathscr{D}(A)$ в гильбертовом пространстве $H$, совпадающий со своим (гильбертово) сопряженным оператором $A^{*}$, то есть $(\xi, A \eta)=(A \xi, \eta)$ для всех $\xi, \eta \in \mathscr{D}(A)\left(\Leftrightarrow A \subset A^{*}\right)$ и $\mathscr{D}(A)=\mathscr{D}\left(A^{*}\right)$. Тем самым $A$ замкнут, не имеет симметрич. расширений; у ограниченного С. о. $\mathscr{D}(A)=H$. Замкнутый линейный оператор $A$ является С. о. тогда и только тогда, когда имеет непустой спектр $\sigma(A) \subset \mathbb{R}$ и допускает спектральное разложение \[ A=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d E(\lambda) \] с единственной спектральной мерой $E(\cdot)$, носитель к-рой есть $\sigma(A)$ (см. Спектральная теорема). Для С.о. имеется развитое функциональное исчисление. В соответствующем оснащении гильбертова пространства возможно разложение по собственным функциям С. о. При изучении возмущений С.о. (или сумм С.о.) применяются квадратичные формы операторов. Область определения формы С. о. $A$ равна $\mathscr{Q}\left(|A|^{1 / 2}\right) \supset \mathscr{D}(A)$. Для положительного С. о. $A$ его форма $2(A)=\left(A^{1 / 2} \xi, A^{1 / 2} \xi\right)$. С. о. $A$ положителен $(A \geqslant 0)$, если $(\xi, A \xi) \geqslant 0, \quad \xi \in \mathscr{D}(A)$, что равносильно $\sigma(A) \subset \mathbb{R}_{+} ; A$ полуограничен снизу $(A \geqslant m>-\infty)$, если $A-$ $-m I \geqslant 0$; при этом $-A$ полуограничен сверху. Полуограниченность является достаточным условием существования самосопряженных расширений симметрич. оператора. Симметрич. $A$ существенно (или в существенном) С.о., если замыкание $\bar{A}=A^{* *}$ есть С. о. Всякий С. о. имеет плотное множество (квази) аналитич. векторов, а симметрич. оператор с таким свойством существенно самосопряжен. Начиная с работ Дж. Неймана (J. Neumann) и М. Стоуна (M. Stone) развитие теории С.о. в значительной мере связано с математич. проблемами квантовой теории. Иногда оператор $A$ в банаховом пространстве $X$ называют С.о., если $i A$ есть генератор $C_{0}$-полугруппы изометрий (см. Стоуна теорема).

линейный оператор $A$ с плотной областью определения $\mathscr{D}(A)$ в гильбертовом пространстве $H$, совпадающий со своим (гильбертово) сопряженным оператором $A^{*}$, то есть $(\xi, A \eta)=(A \xi, \eta)$ для всех $\xi, \eta \in \mathscr{D}(A)\left(\Leftrightarrow A \subset A^{*}\right)$ и $\mathscr{D}(A)=\mathscr{D}\left(A^{*}\right)$. Тем самым $A$ замкнут, не имеет симметрич. расширений; у ограниченного С. о. $\mathscr{D}(A)=H$. Замкнутый линейный оператор $A$ является С. о. тогда и только тогда, когда имеет непустой спектр $\sigma(A) \subset \mathbb{R}$ и допускает спектральное разложение \[ A=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d E(\lambda) \] с единственной спектральной мерой $E(\cdot)$, носитель к-рой есть $\sigma(A)$ (см. Спектральная теорема). Для С.о. имеется развитое функциональное исчисление. В соответствующем оснащении гильбертова пространства возможно разложение по собственным функциям С. о. При изучении возмущений С.о. (или сумм С.о.) применяются квадратичные формы операторов. Область определения формы С. о. $A$ равна $\mathscr{Q}\left(|A|^{1 / 2}\right) \supset \mathscr{D}(A)$. Для положительного С. о. $A$ его форма $2(A)=\left(A^{1 / 2} \xi, A^{1 / 2} \xi\right)$. С. о. $A$ положителен $(A \geqslant 0)$, если $(\xi, A \xi) \geqslant 0, \quad \xi \in \mathscr{D}(A)$, что равносильно $\sigma(A) \subset \mathbb{R}_{+} ; A$ полуограничен снизу $(A \geqslant m>-\infty)$, если $A-$ $-m I \geqslant 0$; при этом $-A$ полуограничен сверху. Полуограниченность является достаточным условием существования самосопряженных расширений симметрич. оператора. Симметрич. $A$ существенно (или в существенном) С.о., если замыкание $\bar{A}=A^{* *}$ есть С. о. Всякий С. о. имеет плотное множество (квази) аналитич. векторов, а симметрич. оператор с таким свойством существенно самосопряжен. Начиная с работ Дж. Неймана (J. Neumann) и М. Стоуна (M. Stone) развитие теории С.о. в значительной мере связано с математич. проблемами квантовой теории. Иногда оператор $A$ в банаховом пространстве $X$ называют С.о., если $i A$ есть генератор $C_{0}$-полугруппы изометрий (см. Стоуна теорема).