СИММЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО (РИМАНОВО)

риманово многообразие $(M, g)$, обладающее центральной симметрией с центром в любой точке $x$, то есть изометрией $S_{x}$, сохраняющей точку $x$ и обращающей направление любой геодезической $\gamma(t)$, проходящей через $x=\gamma(0): S_{x} \gamma(t)=$ $=\gamma(-t)$. Если для любого $x \in M$ изометрия $S_{x}$ определена только локально в окрестности точки $x$, то риманово многообразие $(M, g)$ называется локально симметрическим. Простейшими примерами С. п. являются евклидово пространство $E^{n}$ и, более общо, односвязные пространства постоянной кривизны (то есть $E^{n}$, сфера $S^{n}$ и пространство Лобачевского $J^{n}$ ). Другими примерами С. п. служат проективные пространства над полями $\mathbb{R}, \mathbb{C}$ и телом кватернионов $\mathbb{H}$ и проективная плоскость над октавами 0, а также двойственные им некомпактные гиперболич. пространства, снабженные естественными римановыми метриками. Всеми этими пространствами исчерпываются все С. п. ранга один. Рангом С. п. называется размерность его максимального вполне геодезич. плоского подмногообразия. С. п. ранга один можно охарактеризовать как римановы многообразия, в к-рых любые два геодезич. отрезка одинаковой длины можно совместить изометрией. Примерами локально С. п. являются пространственные формы, то есть фактор пространства $E^{n} / \Gamma$ евклидова пространства $E^{n}$ по свободно действующей дискретной группе $\Gamma$ его изометрий (кристаллографич. группе). Аналогично, любое локально симметрическое геодезически полное пространство получается из нек-рого односвязного С. п. факторизацией по дискретной группе изометрий. Любое С. п. является однородным, что позволяет их описывать и изучать в рамках теории групп и алгебр Ли. Пусть $G-$ связная компонента группы изометрий С. п., порожденная симметриями $S_{x}$. Она действует транзитивно, поэтому С. п. можно отождествить с факторпространством $G / H$, где $H$ - (компактная) стационарная подгруппа фиксированной точки $x \in M$. Обратно, факторпространство $G / H$ группы Ли $G$ по компактной подгруппе $H$ можно превратить (и, при этом, по существу однозначно) в С. п. в том и только в том случае, когда подгруппа $\boldsymbol{H}$ заключена между множеством $G^{\sigma}$ неподвижных точек нек-рого инволютивного автоморфизма $\sigma$ группы $G$ и его связной компонентой единицы $G_{0}^{\sigma}$. Этот результат в значительной мере сводит классификацию С. п. к описанию инволютивных автоморфизмов $\sigma$ групп Ли $G$ (с компактной подгруппой $G^{\sigma}$ ). Напр., автоморфизм перестановки сомножителей в $G \times G$, где $G-$ компактная группа Ли, определяет С. п. $(G \times G) / G$, к-рое можно отождествить с самой группой $G$. Риманова метрика в $G$ определяется инвариантной метрикой в соответствующей алгебре Ли $\mathbb{S}=\operatorname{Lie} G$, а симметрия с центром в единице задается формулой $G \ni a \mapsto a^{-1}$. С. п. $(M, g)$ называется пространством компактного типа, если многообразие $M$ (или соответствующая группа изометрий $G$ ) компактно, и пространством некомпактного типа, если его нельзя представить в виде прямого произведения римановых многообразий, одно из к-рых является С. п. компактного типа или евклидовым пространством. С. п. компактного типа имеет неотрицательную секционную кривизну, а С. п. некомпактного типа - неположительную кривизну. Имеется замечательная двойственность между С. п. компактного и некомпактного типов. Любое односвязное С. п. однозначно разлагается в прямое произведение С. п. компактного типа, С. п. некомпактного типа и евклидова пространства. Полная классификация С. п. была получена Э. Картаном (Е. Cartan). С. п. образуют широкий класс пространств, обладающих богатой геометрией и допускающих детальное изучение в терминах групп и алгебр Ли. Многие классич. результаты и теории математич. физики, относящиеся, по существу, к анализу в евклидовом пространстве (или, более общо, в пространстве постоянной кривизны), допускают обобщение на случай других С. п. Это относится к теории инвариантных дифференциальных операторов, теории инвариантной меры, интегральным преобразованиям, гармонич. анализу, различным теориям квантования, теории сферич. функций и др. Важную роль С. п. играют в современных теориях поля, где функции со значениями в том или ином С. п. интерпретируются как нелинейные физич. поля. Часто под С. п. понимают аффинное С. п.- многообразие $M$ с линейной связностью $\nabla$ без кручения, допускающее центральную симметрию с центром в произвольной точке $x$, то есть автоморфизм линейной связности, сохраняющий точку $x$ и обращающий геодезические. Как и С. п., аффинные С. п. допускают групповое описание как факторпространства $G / H$, где $H$ (не обязательно компактная) - стационарная подгруппа, удовлетворяющая для нек-рого инволютивного автоморфизма $\sigma$ условию $G_{0}^{\sigma} \subset H \subset G^{\sigma}$. Поскольку любую группу Ли можно превратить в аффинное С. п., классификация всех аффинных С. п. не представляется возможной.

риманово многообразие $(M, g)$, обладающее центральной симметрией с центром в любой точке $x$, то есть изометрией $S_{x}$, сохраняющей точку $x$ и обращающей направление любой геодезической $\gamma(t)$, проходящей через $x=\gamma(0): S_{x} \gamma(t)=$ $=\gamma(-t)$. Если для любого $x \in M$ изометрия $S_{x}$ определена только локально в окрестности точки $x$, то риманово многообразие $(M, g)$ называется локально симметрическим. Простейшими примерами С. п. являются евклидово пространство $E^{n}$ и, более общо, односвязные пространства постоянной кривизны (то есть $E^{n}$, сфера $S^{n}$ и пространство Лобачевского $J^{n}$ ). Другими примерами С. п. служат проективные пространства над полями $\mathbb{R}, \mathbb{C}$ и телом кватернионов $\mathbb{H}$ и проективная плоскость над октавами 0, а также двойственные им некомпактные гиперболич. пространства, снабженные естественными римановыми метриками. Всеми этими пространствами исчерпываются все С. п. ранга один. Рангом С. п. называется размерность его максимального вполне геодезич. плоского подмногообразия. С. п. ранга один можно охарактеризовать как римановы многообразия, в к-рых любые два геодезич. отрезка одинаковой длины можно совместить изометрией. Примерами локально С. п. являются пространственные формы, то есть фактор пространства $E^{n} / \Gamma$ евклидова пространства $E^{n}$ по свободно действующей дискретной группе $\Gamma$ его изометрий (кристаллографич. группе). Аналогично, любое локально симметрическое геодезически полное пространство получается из нек-рого односвязного С. п. факторизацией по дискретной группе изометрий. Любое С. п. является однородным, что позволяет их описывать и изучать в рамках теории групп и алгебр Ли. Пусть $G-$ связная компонента группы изометрий С. п., порожденная симметриями $S_{x}$. Она действует транзитивно, поэтому С. п. можно отождествить с факторпространством $G / H$, где $H$ - (компактная) стационарная подгруппа фиксированной точки $x \in M$. Обратно, факторпространство $G / H$ группы Ли $G$ по компактной подгруппе $H$ можно превратить (и, при этом, по существу однозначно) в С. п. в том и только в том случае, когда подгруппа $\boldsymbol{H}$ заключена между множеством $G^{\sigma}$ неподвижных точек нек-рого инволютивного автоморфизма $\sigma$ группы $G$ и его связной компонентой единицы $G_{0}^{\sigma}$. Этот результат в значительной мере сводит классификацию С. п. к описанию инволютивных автоморфизмов $\sigma$ групп Ли $G$ (с компактной подгруппой $G^{\sigma}$ ). Напр., автоморфизм перестановки сомножителей в $G \times G$, где $G-$ компактная группа Ли, определяет С. п. $(G \times G) / G$, к-рое можно отождествить с самой группой $G$. Риманова метрика в $G$ определяется инвариантной метрикой в соответствующей алгебре Ли $\mathbb{S}=\operatorname{Lie} G$, а симметрия с центром в единице задается формулой $G \ni a \mapsto a^{-1}$. С. п. $(M, g)$ называется пространством компактного типа, если многообразие $M$ (или соответствующая группа изометрий $G$ ) компактно, и пространством некомпактного типа, если его нельзя представить в виде прямого произведения римановых многообразий, одно из к-рых является С. п. компактного типа или евклидовым пространством. С. п. компактного типа имеет неотрицательную секционную кривизну, а С. п. некомпактного типа - неположительную кривизну. Имеется замечательная двойственность между С. п. компактного и некомпактного типов. Любое односвязное С. п. однозначно разлагается в прямое произведение С. п. компактного типа, С. п. некомпактного типа и евклидова пространства. Полная классификация С. п. была получена Э. Картаном (Е. Cartan). С. п. образуют широкий класс пространств, обладающих богатой геометрией и допускающих детальное изучение в терминах групп и алгебр Ли. Многие классич. результаты и теории математич. физики, относящиеся, по существу, к анализу в евклидовом пространстве (или, более общо, в пространстве постоянной кривизны), допускают обобщение на случай других С. п. Это относится к теории инвариантных дифференциальных операторов, теории инвариантной меры, интегральным преобразованиям, гармонич. анализу, различным теориям квантования, теории сферич. функций и др. Важную роль С. п. играют в современных теориях поля, где функции со значениями в том или ином С. п. интерпретируются как нелинейные физич. поля. Часто под С. п. понимают аффинное С. п.- многообразие $M$ с линейной связностью $\nabla$ без кручения, допускающее центральную симметрию с центром в произвольной точке $x$, то есть автоморфизм линейной связности, сохраняющий точку $x$ и обращающий геодезические. Как и С. п., аффинные С. п. допускают групповое описание как факторпространства $G / H$, где $H$ (не обязательно компактная) - стационарная подгруппа, удовлетворяющая для нек-рого инволютивного автоморфизма $\sigma$ условию $G_{0}^{\sigma} \subset H \subset G^{\sigma}$. Поскольку любую группу Ли можно превратить в аффинное С. п., классификация всех аффинных С. п. не представляется возможной.