СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА

группа линейных преобразований конечномерного векторного пространства (вещественного или комплексного), сохраняющих кососкалярное произведение, то есть невырожденную кососимметричную (в физических приложениях чаще употребляется термин «антисимметричная») билинейную форму. Пространство, снабженное кососкалярным произведением, называется симплектическим. Роль С. г. в симплектич. пространстве аналогична роли ортогональной группы в евклидовом пространстве. Примеры. 1) Кососкалярное произведение на плоскости с координатами $p, q$ - это форма площади $p \wedge q$. Паре векторов она сопоставляет ориентированную площадь натянутого на них параллелограмма и меняет знак при перестановке векторов. Напр., кососкалярное произведение $\langle\boldsymbol{u}, \boldsymbol{w}\rangle$ пары векторов с декартовыми координатами $u_{1}, u_{2}$ и $w_{1}, w_{2}$ можно записать в виде: $\langle\boldsymbol{u}, \boldsymbol{w}\rangle=u_{1} w_{2}-u_{2} w_{1}$. С. г. плоскости изоморфна группе $(2 \times 2)$-матриц с определителем 1. 2) Прямая сумма $n$ симплектич. плоскостей несет кососкалярное произведение $p_{1} \wedge q_{1}+\ldots+p_{n} \wedge q_{n}$, относящее паре векторов сумму площадей проекций на координатные плоскости натянутого на эти векторы параллелограмма. С. г. содержится в группе линейных преобразований, сохраняющих объем $p_{1} \wedge q_{1} \wedge \ldots \wedge p_{n} \wedge q_{n}$. 3) Мнимая часть невырожденной эрмитовой формы в $n$-мерном комплексном пространстве, рассматриваемом как $2 n$-мерное вещественное, является кососкалярным произведением. В координатах $z_{k}=p_{k}+i q_{k}$ эрмитова форма $\sum_{k=1}^{n} z_{k} \bar{z}_{k}^{\prime}$ имеет мнимую часть $\sum_{k=1}^{n} p_{k} \wedge q_{k}$. С. г. содержит унитарную группу - группу комплексных линейных преобразований, сохраняющих эту эрмитову форму. Унитарная группа - максимальная компактная подгруппа в С. г. Изучение симплектич. пространства упрощается благодаря теореме Дарбу - Фробениуса, согласно к-рой симплектич. пространство четномерно, а два таких пространства одной размерности симплектически изоморфны. Два вектора называются косоортогональными, если их кососкалярное произведение равно нулю. Вектор, косоортогональный всему пространству, - нулевой. В этом состоит определение невырожденности кососкалярного произведения. Каждый вектор себе косоортогонален (следствие кососимметричности). Косоортогональное дополнение прямой - гиперплоскость, содержащая эту прямую. Обратно, косоортогональное дополнение гиперплоскости прямая в ней. Вообще косоортогональное дополнение подпространства имеет дополнительную размерность. Два подпространства одинаковой размерности переводятся друг в друга преобразованием из С. г., если и только если совпадают размерности их пересечений со своими косоортогональными дополнениями. В частности, любая прямая (гиперплоскость) переводится в любую другую. Таким образом, геометрия симплектич. пространства во многом определяется структурой С. г. С. г. $2 n$-мерного симплектич. пространства - это простая связная группа Ли, обозначаемая $\operatorname{Sp}(2 n, \mathbb{R})$ [в комплексном случае $\operatorname{Sp}(2 n, \mathbb{C})]$. Ее размерность $(2 n+1) n$. Алгебра Ли этой группы изоморфна алгебре Ли однородных многочленов степени 2 от переменных $\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ с Пуассона скобкой в качестве коммутатора: \[ [f, g]=f_{p} g_{q}-f_{q} g_{p}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial p_{k}} \frac{\partial g}{\partial q_{k}}-\frac{\partial f}{\partial q_{k}} \frac{\partial g}{\partial p_{k}}\right) . \] По этой причине изучение С. г. равносильно до нек-рой степени изучению линейных гамильтоновых систем дифференциальных уравнений. А. Б. Гивенталь.

группа линейных преобразований конечномерного векторного пространства (вещественного или комплексного), сохраняющих кососкалярное произведение, то есть невырожденную кососимметричную (в физических приложениях чаще употребляется термин «антисимметричная») билинейную форму. Пространство, снабженное кососкалярным произведением, называется симплектическим. Роль С. г. в симплектич. пространстве аналогична роли ортогональной группы в евклидовом пространстве. Примеры. 1) Кососкалярное произведение на плоскости с координатами $p, q$ - это форма площади $p \wedge q$. Паре векторов она сопоставляет ориентированную площадь натянутого на них параллелограмма и меняет знак при перестановке векторов. Напр., кососкалярное произведение $\langle\boldsymbol{u}, \boldsymbol{w}\rangle$ пары векторов с декартовыми координатами $u_{1}, u_{2}$ и $w_{1}, w_{2}$ можно записать в виде: $\langle\boldsymbol{u}, \boldsymbol{w}\rangle=u_{1} w_{2}-u_{2} w_{1}$. С. г. плоскости изоморфна группе $(2 \times 2)$-матриц с определителем 1. 2) Прямая сумма $n$ симплектич. плоскостей несет кососкалярное произведение $p_{1} \wedge q_{1}+\ldots+p_{n} \wedge q_{n}$, относящее паре векторов сумму площадей проекций на координатные плоскости натянутого на эти векторы параллелограмма. С. г. содержится в группе линейных преобразований, сохраняющих объем $p_{1} \wedge q_{1} \wedge \ldots \wedge p_{n} \wedge q_{n}$. 3) Мнимая часть невырожденной эрмитовой формы в $n$-мерном комплексном пространстве, рассматриваемом как $2 n$-мерное вещественное, является кососкалярным произведением. В координатах $z_{k}=p_{k}+i q_{k}$ эрмитова форма $\sum_{k=1}^{n} z_{k} \bar{z}_{k}^{\prime}$ имеет мнимую часть $\sum_{k=1}^{n} p_{k} \wedge q_{k}$. С. г. содержит унитарную группу - группу комплексных линейных преобразований, сохраняющих эту эрмитову форму. Унитарная группа - максимальная компактная подгруппа в С. г. Изучение симплектич. пространства упрощается благодаря теореме Дарбу - Фробениуса, согласно к-рой симплектич. пространство четномерно, а два таких пространства одной размерности симплектически изоморфны. Два вектора называются косоортогональными, если их кососкалярное произведение равно нулю. Вектор, косоортогональный всему пространству, - нулевой. В этом состоит определение невырожденности кососкалярного произведения. Каждый вектор себе косоортогонален (следствие кососимметричности). Косоортогональное дополнение прямой - гиперплоскость, содержащая эту прямую. Обратно, косоортогональное дополнение гиперплоскости прямая в ней. Вообще косоортогональное дополнение подпространства имеет дополнительную размерность. Два подпространства одинаковой размерности переводятся друг в друга преобразованием из С. г., если и только если совпадают размерности их пересечений со своими косоортогональными дополнениями. В частности, любая прямая (гиперплоскость) переводится в любую другую. Таким образом, геометрия симплектич. пространства во многом определяется структурой С. г. С. г. $2 n$-мерного симплектич. пространства - это простая связная группа Ли, обозначаемая $\operatorname{Sp}(2 n, \mathbb{R})$ [в комплексном случае $\operatorname{Sp}(2 n, \mathbb{C})]$. Ее размерность $(2 n+1) n$. Алгебра Ли этой группы изоморфна алгебре Ли однородных многочленов степени 2 от переменных $\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ с Пуассона скобкой в качестве коммутатора: \[ [f, g]=f_{p} g_{q}-f_{q} g_{p}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial p_{k}} \frac{\partial g}{\partial q_{k}}-\frac{\partial f}{\partial q_{k}} \frac{\partial g}{\partial p_{k}}\right) . \] По этой причине изучение С. г. равносильно до нек-рой степени изучению линейных гамильтоновых систем дифференциальных уравнений. А. Б. Гивенталь.