СКРЕЩЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ГРУППЫ $G$ И КОЛЬЦА $K$

ассоциативное кольцо, определяемое следующей конструкцией. Пусть заданы однозначное отображение $\sigma$ группы $G$ в группу автоморфизмов ассоциативного кольца $K$ с единицей и семейство \[ \rho=\left\{\rho_{g, h} \mid g, h \in G\right\} \] обратимых элементов кольца $K$, удовлетворяющее условиям \[ \begin{gathered} \rho_{g_{1}, g_{2}, g_{3}} \cdot \rho_{g_{2}, g_{3}}=\rho_{g_{1} g_{2}, g_{3}} \rho_{g_{1}, g_{2}}^{g_{3} \sigma} ; \\ \alpha^{g_{1} \sigma \cdot g_{2} \sigma}=\rho_{g_{1}, g_{2}}^{-1} \alpha^{\left(g_{1} g_{2}\right) \sigma_{\rho_{g_{1}}, g_{2}}} \end{gathered} \] для всех $\alpha \in K$ и $g_{1}, g_{2}, g_{3} \in G$. Семейство $\rho$ называется системой факторов. Элементами С. п. группы $G$ и кольца $K$ при системе факторов $\rho$ и отображении $\sigma$ будут всевозможные формальные конечные суммы вида \[ \sum_{g \in G} \alpha_{g} t_{g}, \quad g \in G, \quad \alpha_{g} \in K \] $\left(t_{g}-\right.$ символ, однозначно сопоставляемый каждому элементу $g \in G)$, а операции определяются формулами \[ \begin{gathered} \sum_{g \in G} \alpha_{g} t_{g}+\sum_{g \in G} \beta_{g} t_{g}=\sum_{g \in G}\left(\alpha_{g}+\beta_{g}\right) t_{g} ; \\ \left(\sum_{g \in G} \alpha_{g} t_{g}\right)\left(\sum_{g \in G} \beta_{g} t_{g}\right)= \\ =\sum_{h \in G}\left(\sum_{x y=h, x, y \in G}\left(\alpha_{x} \beta_{y}^{x \sigma} \rho_{x, y}\right)\right) t_{h} . \end{gathered} \] Это кольцо обозначается $K(G, \rho, \sigma)$; элементы $t_{g}$ образуют $K$-базис С. п. $K(G, \rho, \sigma)$. Лит.: [1] Sehgal S. K., Topics in group rings, N. Y., 1978; [2] Бовди А. А., «Сибирский математич. журнал», 1963, т. 4, с. 481-500; [3] Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, $\begin{array}{ll}\text { т. 2, М., 1973, с. 5-118. } & \text { A. А. Бовди. }\end{array}$

ассоциативное кольцо, определяемое следующей конструкцией. Пусть заданы однозначное отображение $\sigma$ группы $G$ в группу автоморфизмов ассоциативного кольца $K$ с единицей и семейство \[ \rho=\left\{\rho_{g, h} \mid g, h \in G\right\} \] обратимых элементов кольца $K$, удовлетворяющее условиям \[ \begin{gathered} \rho_{g_{1}, g_{2}, g_{3}} \cdot \rho_{g_{2}, g_{3}}=\rho_{g_{1} g_{2}, g_{3}} \rho_{g_{1}, g_{2}}^{g_{3} \sigma} ; \\ \alpha^{g_{1} \sigma \cdot g_{2} \sigma}=\rho_{g_{1}, g_{2}}^{-1} \alpha^{\left(g_{1} g_{2}\right) \sigma_{\rho_{g_{1}}, g_{2}}} \end{gathered} \] для всех $\alpha \in K$ и $g_{1}, g_{2}, g_{3} \in G$. Семейство $\rho$ называется системой факторов. Элементами С. п. группы $G$ и кольца $K$ при системе факторов $\rho$ и отображении $\sigma$ будут всевозможные формальные конечные суммы вида \[ \sum_{g \in G} \alpha_{g} t_{g}, \quad g \in G, \quad \alpha_{g} \in K \] $\left(t_{g}-\right.$ символ, однозначно сопоставляемый каждому элементу $g \in G)$, а операции определяются формулами \[ \begin{gathered} \sum_{g \in G} \alpha_{g} t_{g}+\sum_{g \in G} \beta_{g} t_{g}=\sum_{g \in G}\left(\alpha_{g}+\beta_{g}\right) t_{g} ; \\ \left(\sum_{g \in G} \alpha_{g} t_{g}\right)\left(\sum_{g \in G} \beta_{g} t_{g}\right)= \\ =\sum_{h \in G}\left(\sum_{x y=h, x, y \in G}\left(\alpha_{x} \beta_{y}^{x \sigma} \rho_{x, y}\right)\right) t_{h} . \end{gathered} \] Это кольцо обозначается $K(G, \rho, \sigma)$; элементы $t_{g}$ образуют $K$-базис С. п. $K(G, \rho, \sigma)$. Лит.: [1] Sehgal S. K., Topics in group rings, N. Y., 1978; [2] Бовди А. А., «Сибирский математич. журнал», 1963, т. 4, с. 481-500; [3] Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, $\begin{array}{ll}\text { т. 2, М., 1973, с. 5-118. } & \text { A. А. Бовди. }\end{array}$